Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28556 / 42424
↖ ↑ ↗
← S 46.769968°
W 23.137207°		 ← 418.35 m → S 46.769968°
W 23.131714°		 →
↑
418.32 m
↓
↑
418.32 m
↓
S 46.773730°
W 23.137207°		 ← 418.32 m →
174 996 m²		 S 46.773730°
W 23.131714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435737609863281 y=0.647346496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435737609863281 × 216)
    floor (0.435737609863281 × 65536)
    floor (28556.5)     		tx = 28556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647346496582031 × 216)
    floor (0.647346496582031 × 65536)
    floor (42424.5)     		ty = 42424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28556 / 42424 ti = "16/28556/42424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28556/42424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28556 ÷ 216
    28556 ÷ 65536     		x = 0.43572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42424 ÷ 216
    42424 ÷ 65536     		y = 0.6473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43572998046875 × 2 - 1) × π
    -0.1285400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40382044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.294677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.925757405462524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40382044} λ = -0.40382044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.925757405462524))-π/2
    2×atan(0.396231197721122)-π/2
    2×0.377253193296706-π/2
    0.754506386593412-1.57079632675     		φ = -0.81628994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40382044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.137207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81628994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.769968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28556 KachelY 42424 -0.40382044 -0.81628994 -23.137207 -46.769968
    Oben rechts KachelX + 1 28557 KachelY 42424 -0.40372457 -0.81628994 -23.131714 -46.769968
    Unten links KachelX 28556 KachelY + 1 42425 -0.40382044 -0.81635560 -23.137207 -46.773730
    Unten rechts KachelX + 1 28557 KachelY + 1 42425 -0.40372457 -0.81635560 -23.131714 -46.773730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81628994--0.81635560) × R
    6.56599999999674e-05 × 6371000     		dl = 418.319859999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81628994--0.81635560) × R
    6.56599999999674e-05 × 6371000     		dr = 418.319859999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40382044--0.40372457) × cos(-0.81628994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.684929100734778 × 6371000     		do = 418.346318045891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40382044--0.40372457) × cos(-0.81635560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.684881258744021 × 6371000     		du = 418.317096743045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81628994)-sin(-0.81635560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684929100734778-0.684881258744021)×R²
    abs(-0.40372457--0.40382044)×4.78419907563588e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78419907563588e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78419907563588e-05×40589641000000     		ar = 174996.461333552m²