Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28556 / 15236
↖ ↑ ↗
← N 68.903097°
W 23.137207°		 ← 219.85 m → N 68.903097°
W 23.131714°		 →
↑
219.86 m
↓
↑
219.86 m
↓
N 68.901120°
W 23.137207°		 ← 219.87 m →
48 339 m²		 N 68.901120°
W 23.131714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435737609863281 y=0.232490539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435737609863281 × 216)
    floor (0.435737609863281 × 65536)
    floor (28556.5)     		tx = 28556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232490539550781 × 216)
    floor (0.232490539550781 × 65536)
    floor (15236.5)     		ty = 15236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28556 / 15236 ti = "16/28556/15236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28556/15236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28556 ÷ 216
    28556 ÷ 65536     		x = 0.43572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15236 ÷ 216
    15236 ÷ 65536     		y = 0.23248291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43572998046875 × 2 - 1) × π
    -0.1285400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40382044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23248291015625 × 2 - 1) × π
    0.5350341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68085944827765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40382044} λ = -0.40382044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68085944827765))-π/2
    2×atan(5.37016937116537)-π/2
    2×1.38669111958878-π/2
    2.77338223917756-1.57079632675     		φ = 1.20258591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40382044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.137207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20258591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.903097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28556 KachelY 15236 -0.40382044 1.20258591 -23.137207 68.903097
    Oben rechts KachelX + 1 28557 KachelY 15236 -0.40372457 1.20258591 -23.131714 68.903097
    Unten links KachelX 28556 KachelY + 1 15237 -0.40382044 1.20255140 -23.137207 68.901120
    Unten rechts KachelX + 1 28557 KachelY + 1 15237 -0.40372457 1.20255140 -23.131714 68.901120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20258591-1.20255140) × R
    3.45100000000986e-05 × 6371000     		dl = 219.863210000628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20258591-1.20255140) × R
    3.45100000000986e-05 × 6371000     		dr = 219.863210000628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40382044--0.40372457) × cos(1.20258591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359946376440095 × 6371000     		do = 219.850844585421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40382044--0.40372457) × cos(1.20255140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359978573123747 × 6371000     		du = 219.870509926031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20258591)-sin(1.20255140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359946376440095-0.359978573123747)×R²
    abs(-0.40372457--0.40382044)×3.21966836526189e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21966836526189e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21966836526189e-05×40589641000000     		ar = 48339.2742590928m²