Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28555 / 15243
↖ ↑ ↗
← N 68.889252°
W 23.142700°		 ← 220.01 m → N 68.889252°
W 23.137207°		 →
↑
219.99 m
↓
↑
219.99 m
↓
N 68.887274°
W 23.142700°		 ← 220.03 m →
48 403 m²		 N 68.887274°
W 23.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435722351074219 y=0.232597351074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435722351074219 × 216)
    floor (0.435722351074219 × 65536)
    floor (28555.5)     		tx = 28555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232597351074219 × 216)
    floor (0.232597351074219 × 65536)
    floor (15243.5)     		ty = 15243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28555 / 15243 ti = "16/28555/15243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28555/15243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28555 ÷ 216
    28555 ÷ 65536     		x = 0.435714721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15243 ÷ 216
    15243 ÷ 65536     		y = 0.232589721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435714721679688 × 2 - 1) × π
    -0.128570556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40391632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232589721679688 × 2 - 1) × π
    0.534820556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68018833168297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40391632} λ = -0.40391632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68018833168297))-π/2
    2×atan(5.36656657046903)-π/2
    2×1.38657029877645-π/2
    2.7731405975529-1.57079632675     		φ = 1.20234427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40391632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.142700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20234427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.889252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28555 KachelY 15243 -0.40391632 1.20234427 -23.142700 68.889252
    Oben rechts KachelX + 1 28556 KachelY 15243 -0.40382044 1.20234427 -23.137207 68.889252
    Unten links KachelX 28555 KachelY + 1 15244 -0.40391632 1.20230974 -23.142700 68.887274
    Unten rechts KachelX + 1 28556 KachelY + 1 15244 -0.40382044 1.20230974 -23.137207 68.887274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20234427-1.20230974) × R
    3.45299999999771e-05 × 6371000     		dl = 219.990629999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20234427-1.20230974) × R
    3.45299999999771e-05 × 6371000     		dr = 219.990629999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40391632--0.40382044) × cos(1.20234427) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.360171809523369 × 6371000     		do = 220.011482901611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40391632--0.40382044) × cos(1.20230974) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.360204021861827 × 6371000     		du = 220.031159856233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20234427)-sin(1.20230974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360171809523369-0.360204021861827)×R²
    abs(-0.40382044--0.40391632)×3.22123384578488e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.22123384578488e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.22123384578488e-05×40589641000000     		ar = 48402.6291080599m²