Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28553 / 14985
↖ ↑ ↗
← N 69.393850°
W 23.153686°		 ← 214.96 m → N 69.393850°
W 23.148193°		 →
↑
214.96 m
↓
↑
214.96 m
↓
N 69.391917°
W 23.153686°		 ← 214.98 m →
46 210 m²		 N 69.391917°
W 23.148193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435691833496094 y=0.228660583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435691833496094 × 216)
    floor (0.435691833496094 × 65536)
    floor (28553.5)     		tx = 28553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228660583496094 × 216)
    floor (0.228660583496094 × 65536)
    floor (14985.5)     		ty = 14985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28553 / 14985 ti = "16/28553/14985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28553/14985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28553 ÷ 216
    28553 ÷ 65536     		x = 0.435684204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14985 ÷ 216
    14985 ÷ 65536     		y = 0.228652954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435684204101562 × 2 - 1) × π
    -0.128631591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40410806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228652954101562 × 2 - 1) × π
    0.542694091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70492377188692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40410806} λ = -0.40410806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70492377188692))-π/2
    2×atan(5.50096632294586)-π/2
    2×1.39097374407852-π/2
    2.78194748815704-1.57079632675     		φ = 1.21115116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40410806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.153686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21115116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.393850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28553 KachelY 14985 -0.40410806 1.21115116 -23.153686 69.393850
    Oben rechts KachelX + 1 28554 KachelY 14985 -0.40401219 1.21115116 -23.148193 69.393850
    Unten links KachelX 28553 KachelY + 1 14986 -0.40410806 1.21111742 -23.153686 69.391917
    Unten rechts KachelX + 1 28554 KachelY + 1 14986 -0.40401219 1.21111742 -23.148193 69.391917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21115116-1.21111742) × R
    3.37400000001153e-05 × 6371000     		dl = 214.957540000735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21115116-1.21111742) × R
    3.37400000001153e-05 × 6371000     		dr = 214.957540000735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40410806--0.40401219) × cos(1.21115116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351942123835641 × 6371000     		do = 214.96194498663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40410806--0.40401219) × cos(1.21111742) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351973705009607 × 6371000     		du = 214.981234381451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21115116)-sin(1.21111742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351942123835641-0.351973705009607)×R²
    abs(-0.40401219--0.40410806)×3.15811739663441e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15811739663441e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15811739663441e-05×40589641000000     		ar = 46209.7640927716m²