Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28550 / 21134
↖ ↑ ↗
← N 53.703210°
W 23.170166°		 ← 361.60 m → N 53.703210°
W 23.164673°		 →
↑
361.55 m
↓
↑
361.55 m
↓
N 53.699959°
W 23.170166°		 ← 361.63 m →
130 745 m²		 N 53.699959°
W 23.164673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435646057128906 y=0.322486877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435646057128906 × 216)
    floor (0.435646057128906 × 65536)
    floor (28550.5)     		tx = 28550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322486877441406 × 216)
    floor (0.322486877441406 × 65536)
    floor (21134.5)     		ty = 21134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28550 / 21134 ti = "16/28550/21134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28550/21134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28550 ÷ 216
    28550 ÷ 65536     		x = 0.435638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21134 ÷ 216
    21134 ÷ 65536     		y = 0.322479248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435638427734375 × 2 - 1) × π
    -0.12872314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40439569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322479248046875 × 2 - 1) × π
    0.35504150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11539578035947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40439569} λ = -0.40439569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11539578035947))-π/2
    2×atan(3.05077537724974)-π/2
    2×1.25404708473198-π/2
    2.50809416946397-1.57079632675     		φ = 0.93729784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40439569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.170166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93729784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.703210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28550 KachelY 21134 -0.40439569 0.93729784 -23.170166 53.703210
    Oben rechts KachelX + 1 28551 KachelY 21134 -0.40429981 0.93729784 -23.164673 53.703210
    Unten links KachelX 28550 KachelY + 1 21135 -0.40439569 0.93724109 -23.170166 53.699959
    Unten rechts KachelX + 1 28551 KachelY + 1 21135 -0.40429981 0.93724109 -23.164673 53.699959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93729784-0.93724109) × R
    5.67500000000498e-05 × 6371000     		dl = 361.554250000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93729784-0.93724109) × R
    5.67500000000498e-05 × 6371000     		dr = 361.554250000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40439569--0.40429981) × cos(0.93729784) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.591968020355072 × 6371000     		do = 361.604541346538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40439569--0.40429981) × cos(0.93724109) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.59201375771424 × 6371000     		du = 361.632480080077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93729784)-sin(0.93724109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591968020355072-0.59201375771424)×R²
    abs(-0.40429981--0.40439569)×4.57373591684629e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.57373591684629e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.57373591684629e-05×40589641000000     		ar = 130744.709462335m²