Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2855 / 5926
↖ ↑ ↗
← S 62.390370°
W 54.536133°		 ← 2 264.62 m → S 62.390370°
W 54.492188°		 →
↑
2 263.87 m
↓
↑
2 263.87 m
↓
S 62.410729°
W 54.536133°		 ← 2 263.08 m →
5 125 068 m²		 S 62.410729°
W 54.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34857177734375 y=0.72344970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34857177734375 × 213)
    floor (0.34857177734375 × 8192)
    floor (2855.5)     		tx = 2855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72344970703125 × 213)
    floor (0.72344970703125 × 8192)
    floor (5926.5)     		ty = 5926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2855 / 5926 ti = "13/2855/5926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2855/5926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2855 ÷ 213
    2855 ÷ 8192     		x = 0.3485107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5926 ÷ 213
    5926 ÷ 8192     		y = 0.723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.302978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95183508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.44677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40359242087524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95183508} λ = -0.95183508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40359242087524))-π/2
    2×atan(0.245712673183876)-π/2
    2×0.240939479291127-π/2
    0.481878958582254-1.57079632675     		φ = -1.08891737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95183508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08891737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.390370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2855 KachelY 5926 -0.95183508 -1.08891737 -54.536133 -62.390370
    Oben rechts KachelX + 1 2856 KachelY 5926 -0.95106809 -1.08891737 -54.492188 -62.390370
    Unten links KachelX 2855 KachelY + 1 5927 -0.95183508 -1.08927271 -54.536133 -62.410729
    Unten rechts KachelX + 1 2856 KachelY + 1 5927 -0.95106809 -1.08927271 -54.492188 -62.410729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08891737--1.08927271) × R
    0.000355339999999815 × 6371000     		dl = 2263.87113999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08891737--1.08927271) × R
    0.000355339999999815 × 6371000     		dr = 2263.87113999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95183508--0.95106809) × cos(-1.08891737) × R
    0.000766989999999912 × 0.463444984547496 × 6371000     		do = 2264.62080727524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95183508--0.95106809) × cos(-1.08927271) × R
    0.000766989999999912 × 0.463130079391079 × 6371000     		du = 2263.08202534142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08891737)-sin(-1.08927271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463444984547496-0.463130079391079)×R²
    abs(-0.95106809--0.95183508)×0.0003149051564173×R²
    0.000766989999999912×0.0003149051564173×6371000²
    0.000766989999999912×0.0003149051564173×40589641000000     		ar = 5125067.94055305m²