Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28549 / 19091
↖ ↑ ↗
← N 59.836536°
W 23.175659°		 ← 306.90 m → N 59.836536°
W 23.170166°		 →
↑
306.95 m
↓
↑
306.95 m
↓
N 59.833775°
W 23.175659°		 ← 306.93 m →
94 209 m²		 N 59.833775°
W 23.170166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435630798339844 y=0.291313171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435630798339844 × 216)
    floor (0.435630798339844 × 65536)
    floor (28549.5)     		tx = 28549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291313171386719 × 216)
    floor (0.291313171386719 × 65536)
    floor (19091.5)     		ty = 19091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28549 / 19091 ti = "16/28549/19091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28549/19091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28549 ÷ 216
    28549 ÷ 65536     		x = 0.435623168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19091 ÷ 216
    19091 ÷ 65536     		y = 0.291305541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435623168945312 × 2 - 1) × π
    -0.128753662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40449156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291305541992188 × 2 - 1) × π
    0.417388916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.31126595220702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40449156} λ = -0.40449156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31126595220702))-π/2
    2×atan(3.71086852207621)-π/2
    2×1.30757044176743-π/2
    2.61514088353485-1.57079632675     		φ = 1.04434456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40449156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.175659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04434456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.836536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28549 KachelY 19091 -0.40449156 1.04434456 -23.175659 59.836536
    Oben rechts KachelX + 1 28550 KachelY 19091 -0.40439569 1.04434456 -23.170166 59.836536
    Unten links KachelX 28549 KachelY + 1 19092 -0.40449156 1.04429638 -23.175659 59.833775
    Unten rechts KachelX + 1 28550 KachelY + 1 19092 -0.40439569 1.04429638 -23.170166 59.833775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04434456-1.04429638) × R
    4.81800000000643e-05 × 6371000     		dl = 306.95478000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04434456-1.04429638) × R
    4.81800000000643e-05 × 6371000     		dr = 306.95478000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40449156--0.40439569) × cos(1.04434456) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.502468724612897 × 6371000     		do = 306.901751801226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40449156--0.40439569) × cos(1.04429638) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.502510380235365 × 6371000     		du = 306.927194545982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04434456)-sin(1.04429638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502468724612897-0.502510380235365)×R²
    abs(-0.40439569--0.40449156)×4.16556224682729e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.16556224682729e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.16556224682729e-05×40589641000000     		ar = 94208.8646098571m²