Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28548 / 4442
↖ ↑ ↗
← N 78.433418°
E133.637695°		 ← 244.95 m → N 78.433418°
E133.648682°		 →
↑
244.96 m
↓
↑
244.96 m
↓
N 78.431215°
E133.637695°		 ← 244.99 m →
60 009 m²		 N 78.431215°
E133.648682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871231079101562 y=0.135574340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871231079101562 × 215)
    floor (0.871231079101562 × 32768)
    floor (28548.5)     		tx = 28548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135574340820312 × 215)
    floor (0.135574340820312 × 32768)
    floor (4442.5)     		ty = 4442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28548 / 4442 ti = "15/28548/4442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28548/4442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28548 ÷ 215
    28548 ÷ 32768     		x = 0.8712158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4442 ÷ 215
    4442 ÷ 32768     		y = 0.13555908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8712158203125 × 2 - 1) × π
    0.742431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33241779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13555908203125 × 2 - 1) × π
    0.7288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28984982105084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33241779} λ = 2.33241779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28984982105084))-π/2
    2×atan(9.87345478476193)-π/2
    2×1.46985885472155-π/2
    2.9397177094431-1.57079632675     		φ = 1.36892138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33241779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36892138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.433418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28548 KachelY 4442 2.33241779 1.36892138 133.637695 78.433418
    Oben rechts KachelX + 1 28549 KachelY 4442 2.33260954 1.36892138 133.648682 78.433418
    Unten links KachelX 28548 KachelY + 1 4443 2.33241779 1.36888293 133.637695 78.431215
    Unten rechts KachelX + 1 28549 KachelY + 1 4443 2.33260954 1.36888293 133.648682 78.431215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36892138-1.36888293) × R
    3.84499999999122e-05 × 6371000     		dl = 244.96494999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36892138-1.36888293) × R
    3.84499999999122e-05 × 6371000     		dr = 244.96494999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33241779-2.33260954) × cos(1.36892138) × R
    0.000191749999999935 × 0.200506553203817 × 6371000     		do = 244.946675275913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33241779-2.33260954) × cos(1.36888293) × R
    0.000191749999999935 × 0.200544222226872 × 6371000     		du = 244.992693232986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36892138)-sin(1.36888293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200506553203817-0.200544222226872)×R²
    abs(2.33260954-2.33241779)×3.7669023054826e-05×R²
    0.000191749999999935×3.7669023054826e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.7669023054826e-05×40589641000000     		ar = 60008.9864617047m²