Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28548 / 21132
↖ ↑ ↗
← N 53.709713°
W 23.181152°		 ← 361.51 m → N 53.709713°
W 23.175659°		 →
↑
361.55 m
↓
↑
361.55 m
↓
N 53.706462°
W 23.181152°		 ← 361.54 m →
130 711 m²		 N 53.706462°
W 23.175659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435615539550781 y=0.322456359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435615539550781 × 216)
    floor (0.435615539550781 × 65536)
    floor (28548.5)     		tx = 28548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322456359863281 × 216)
    floor (0.322456359863281 × 65536)
    floor (21132.5)     		ty = 21132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28548 / 21132 ti = "16/28548/21132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28548/21132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28548 ÷ 216
    28548 ÷ 65536     		x = 0.43560791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21132 ÷ 216
    21132 ÷ 65536     		y = 0.32244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43560791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40458743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32244873046875 × 2 - 1) × π
    0.3551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11558752795795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40458743} λ = -0.40458743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11558752795795))-π/2
    2×atan(3.05136041218956)-π/2
    2×1.25410383456959-π/2
    2.50820766913918-1.57079632675     		φ = 0.93741134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40458743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.181152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93741134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.709713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28548 KachelY 21132 -0.40458743 0.93741134 -23.181152 53.709713
    Oben rechts KachelX + 1 28549 KachelY 21132 -0.40449156 0.93741134 -23.175659 53.709713
    Unten links KachelX 28548 KachelY + 1 21133 -0.40458743 0.93735459 -23.181152 53.706462
    Unten rechts KachelX + 1 28549 KachelY + 1 21133 -0.40449156 0.93735459 -23.175659 53.706462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93741134-0.93735459) × R
    5.67500000000498e-05 × 6371000     		dl = 361.554250000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93741134-0.93735459) × R
    5.67500000000498e-05 × 6371000     		dr = 361.554250000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40458743--0.40449156) × cos(0.93741134) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591876539917472 × 6371000     		do = 361.510951931501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40458743--0.40449156) × cos(0.93735459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591922281089433 × 6371000     		du = 361.53889007992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93741134)-sin(0.93735459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591876539917472-0.591922281089433)×R²
    abs(-0.40449156--0.40458743)×4.57411719612111e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57411719612111e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57411719612111e-05×40589641000000     		ar = 130710.871705392m²