Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28548 / 20868
↖ ↑ ↗
← N 76.595999°
W101.590576°		 ← 70.79 m → N 76.595999°
W101.587830°		 →
↑
70.85 m
↓
↑
70.85 m
↓
N 76.595362°
W101.590576°		 ← 70.79 m →
5 015 m²		 N 76.595362°
W101.587830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217807769775391 y=0.159214019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217807769775391 × 217)
    floor (0.217807769775391 × 131072)
    floor (28548.5)     		tx = 28548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159214019775391 × 217)
    floor (0.159214019775391 × 131072)
    floor (20868.5)     		ty = 20868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28548 / 20868 ti = "17/28548/20868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28548/20868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28548 ÷ 217
    28548 ÷ 131072     		x = 0.217803955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20868 ÷ 217
    20868 ÷ 131072     		y = 0.159210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.217803955078125 × 2 - 1) × π
    -0.56439208984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.77309004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159210205078125 × 2 - 1) × π
    0.68157958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14124543222867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77309004} λ = -1.77309004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14124543222867))-π/2
    2×atan(8.51002969691702)-π/2
    2×1.45382434724244-π/2
    2.90764869448488-1.57079632675     		φ = 1.33685237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77309004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.590576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33685237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.595999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28548 KachelY 20868 -1.77309004 1.33685237 -101.590576 76.595999
    Oben rechts KachelX + 1 28549 KachelY 20868 -1.77304211 1.33685237 -101.587830 76.595999
    Unten links KachelX 28548 KachelY + 1 20869 -1.77309004 1.33684125 -101.590576 76.595362
    Unten rechts KachelX + 1 28549 KachelY + 1 20869 -1.77304211 1.33684125 -101.587830 76.595362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33685237-1.33684125) × R
    1.11199999999201e-05 × 6371000     		dl = 70.8455199994908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33685237-1.33684125) × R
    1.11199999999201e-05 × 6371000     		dr = 70.8455199994908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77309004--1.77304211) × cos(1.33685237) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231815838704871 × 6371000     		do = 70.7877550931152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77309004--1.77304211) × cos(1.33684125) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231826655778304 × 6371000     		du = 70.7910582166176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33685237)-sin(1.33684125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231815838704871-0.231826655778304)×R²
    abs(-1.77304211--1.77309004)×1.08170734338942e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.08170734338942e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.08170734338942e-05×40589641000000     		ar = 5015.11232514779m²