Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28547 / 22411
↖ ↑ ↗
← N 49.343020°
W 23.186646°		 ← 397.99 m → N 49.343020°
W 23.181152°		 →
↑
397.93 m
↓
↑
397.93 m
↓
N 49.339441°
W 23.186646°		 ← 398.02 m →
158 378 m²		 N 49.339441°
W 23.181152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435600280761719 y=0.341972351074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435600280761719 × 216)
    floor (0.435600280761719 × 65536)
    floor (28547.5)     		tx = 28547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341972351074219 × 216)
    floor (0.341972351074219 × 65536)
    floor (22411.5)     		ty = 22411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28547 / 22411 ti = "16/28547/22411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28547/22411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28547 ÷ 216
    28547 ÷ 65536     		x = 0.435592651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22411 ÷ 216
    22411 ÷ 65536     		y = 0.341964721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435592651367188 × 2 - 1) × π
    -0.128814697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40468331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341964721679688 × 2 - 1) × π
    0.316070556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.992964938729843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40468331} λ = -0.40468331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992964938729843))-π/2
    2×atan(2.69922565850196)-π/2
    2×1.21599724452672-π/2
    2.43199448905344-1.57079632675     		φ = 0.86119816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40468331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.186646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86119816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.343020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28547 KachelY 22411 -0.40468331 0.86119816 -23.186646 49.343020
    Oben rechts KachelX + 1 28548 KachelY 22411 -0.40458743 0.86119816 -23.181152 49.343020
    Unten links KachelX 28547 KachelY + 1 22412 -0.40468331 0.86113570 -23.186646 49.339441
    Unten rechts KachelX + 1 28548 KachelY + 1 22412 -0.40458743 0.86113570 -23.181152 49.339441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86119816-0.86113570) × R
    6.24600000000974e-05 × 6371000     		dl = 397.932660000621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86119816-0.86113570) × R
    6.24600000000974e-05 × 6371000     		dr = 397.932660000621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40468331--0.40458743) × cos(0.86119816) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.651528983420706 × 6371000     		do = 397.987443785403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40468331--0.40458743) × cos(0.86113570) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.651576365788787 × 6371000     		du = 398.016387375071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86119816)-sin(0.86113570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651528983420706-0.651576365788787)×R²
    abs(-0.40458743--0.40468331)×4.73823680808838e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73823680808838e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73823680808838e-05×40589641000000     		ar = 158377.961003931m²