Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28547 / 21108
↖ ↑ ↗
← N 53.787672°
W 23.186646°		 ← 360.88 m → N 53.787672°
W 23.181152°		 →
↑
360.85 m
↓
↑
360.85 m
↓
N 53.784427°
W 23.186646°		 ← 360.91 m →
130 229 m²		 N 53.784427°
W 23.181152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435600280761719 y=0.322090148925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435600280761719 × 216)
    floor (0.435600280761719 × 65536)
    floor (28547.5)     		tx = 28547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322090148925781 × 216)
    floor (0.322090148925781 × 65536)
    floor (21108.5)     		ty = 21108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28547 / 21108 ti = "16/28547/21108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28547/21108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28547 ÷ 216
    28547 ÷ 65536     		x = 0.435592651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21108 ÷ 216
    21108 ÷ 65536     		y = 0.32208251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435592651367188 × 2 - 1) × π
    -0.128814697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40468331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32208251953125 × 2 - 1) × π
    0.3558349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11788849913971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40468331} λ = -0.40468331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11788849913971))-π/2
    2×atan(3.05838958842785)-π/2
    2×1.25478414872109-π/2
    2.50956829744218-1.57079632675     		φ = 0.93877197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40468331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.186646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93877197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.787672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28547 KachelY 21108 -0.40468331 0.93877197 -23.186646 53.787672
    Oben rechts KachelX + 1 28548 KachelY 21108 -0.40458743 0.93877197 -23.181152 53.787672
    Unten links KachelX 28547 KachelY + 1 21109 -0.40468331 0.93871533 -23.186646 53.784427
    Unten rechts KachelX + 1 28548 KachelY + 1 21109 -0.40458743 0.93871533 -23.181152 53.784427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93877197-0.93871533) × R
    5.66400000000522e-05 × 6371000     		dl = 360.853440000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93877197-0.93871533) × R
    5.66400000000522e-05 × 6371000     		dr = 360.853440000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40468331--0.40458743) × cos(0.93877197) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.590779285638756 × 6371000     		do = 360.878400985749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40468331--0.40458743) × cos(0.93871533) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.590824983724352 × 6371000     		du = 360.906315728968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93877197)-sin(0.93871533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590779285638756-0.590824983724352)×R²
    abs(-0.40458743--0.40468331)×4.56980855957356e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.56980855957356e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.56980855957356e-05×40589641000000     		ar = 130229.249017712m²