Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28546 / 4478
↖ ↑ ↗
← N 78.353847°
E133.615723°		 ← 246.61 m → N 78.353847°
E133.626709°		 →
↑
246.62 m
↓
↑
246.62 m
↓
N 78.351629°
E133.615723°		 ← 246.65 m →
60 825 m²		 N 78.351629°
E133.626709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871170043945312 y=0.136672973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871170043945312 × 215)
    floor (0.871170043945312 × 32768)
    floor (28546.5)     		tx = 28546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136672973632812 × 215)
    floor (0.136672973632812 × 32768)
    floor (4478.5)     		ty = 4478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28546 / 4478 ti = "15/28546/4478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28546/4478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28546 ÷ 215
    28546 ÷ 32768     		x = 0.87115478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4478 ÷ 215
    4478 ÷ 32768     		y = 0.13665771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87115478515625 × 2 - 1) × π
    0.7423095703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33203429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13665771484375 × 2 - 1) × π
    0.7266845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28294690750555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33203429} λ = 2.33203429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28294690750555))-π/2
    2×atan(9.80553387577435)-π/2
    2×1.469164469929-π/2
    2.93832893985799-1.57079632675     		φ = 1.36753261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33203429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36753261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.353847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28546 KachelY 4478 2.33203429 1.36753261 133.615723 78.353847
    Oben rechts KachelX + 1 28547 KachelY 4478 2.33222604 1.36753261 133.626709 78.353847
    Unten links KachelX 28546 KachelY + 1 4479 2.33203429 1.36749390 133.615723 78.351629
    Unten rechts KachelX + 1 28547 KachelY + 1 4479 2.33222604 1.36749390 133.626709 78.351629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36753261-1.36749390) × R
    3.87100000001084e-05 × 6371000     		dl = 246.621410000691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36753261-1.36749390) × R
    3.87100000001084e-05 × 6371000     		dr = 246.621410000691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33203429-2.33222604) × cos(1.36753261) × R
    0.000191749999999935 × 0.201866926769926 × 6371000     		do = 246.608561018933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33203429-2.33222604) × cos(1.36749390) × R
    0.000191749999999935 × 0.201904839694307 × 6371000     		du = 246.654876935439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36753261)-sin(1.36749390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201866926769926-0.201904839694307)×R²
    abs(2.33222604-2.33203429)×3.79129243808229e-05×R²
    0.000191749999999935×3.79129243808229e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.79129243808229e-05×40589641000000     		ar = 60824.662292375m²