Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28546 / 4458
↖ ↑ ↗
← N 78.398119°
E133.615723°		 ← 245.68 m → N 78.398119°
E133.626709°		 →
↑
245.73 m
↓
↑
245.73 m
↓
N 78.395909°
E133.615723°		 ← 245.73 m →
60 377 m²		 N 78.395909°
E133.626709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871170043945312 y=0.136062622070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871170043945312 × 215)
    floor (0.871170043945312 × 32768)
    floor (28546.5)     		tx = 28546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136062622070312 × 215)
    floor (0.136062622070312 × 32768)
    floor (4458.5)     		ty = 4458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28546 / 4458 ti = "15/28546/4458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28546/4458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28546 ÷ 215
    28546 ÷ 32768     		x = 0.87115478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4458 ÷ 215
    4458 ÷ 32768     		y = 0.13604736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87115478515625 × 2 - 1) × π
    0.7423095703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33203429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13604736328125 × 2 - 1) × π
    0.7279052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28678185947516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33203429} λ = 2.33203429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28678185947516))-π/2
    2×atan(9.84320982377522)-π/2
    2×1.4695508188511-π/2
    2.9391016377022-1.57079632675     		φ = 1.36830531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33203429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36830531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.398119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28546 KachelY 4458 2.33203429 1.36830531 133.615723 78.398119
    Oben rechts KachelX + 1 28547 KachelY 4458 2.33222604 1.36830531 133.626709 78.398119
    Unten links KachelX 28546 KachelY + 1 4459 2.33203429 1.36826674 133.615723 78.395909
    Unten rechts KachelX + 1 28547 KachelY + 1 4459 2.33222604 1.36826674 133.626709 78.395909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36830531-1.36826674) × R
    3.8570000000071e-05 × 6371000     		dl = 245.729470000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36830531-1.36826674) × R
    3.8570000000071e-05 × 6371000     		dr = 245.729470000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33203429-2.33222604) × cos(1.36830531) × R
    0.000191749999999935 × 0.201110074188101 × 6371000     		do = 245.683960198513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33203429-2.33222604) × cos(1.36826674) × R
    0.000191749999999935 × 0.201147856001293 × 6371000     		du = 245.730115944444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36830531)-sin(1.36826674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201110074188101-0.201147856001293)×R²
    abs(2.33222604-2.33203429)×3.77818131915841e-05×R²
    0.000191749999999935×3.77818131915841e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.77818131915841e-05×40589641000000     		ar = 60377.4602482948m²