Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28546 / 22410
↖ ↑ ↗
← N 49.346599°
W 23.192139°		 ← 397.92 m → N 49.346599°
W 23.186646°		 →
↑
397.93 m
↓
↑
397.93 m
↓
N 49.343020°
W 23.192139°		 ← 397.95 m →
158 350 m²		 N 49.343020°
W 23.186646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435585021972656 y=0.341957092285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435585021972656 × 216)
    floor (0.435585021972656 × 65536)
    floor (28546.5)     		tx = 28546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341957092285156 × 216)
    floor (0.341957092285156 × 65536)
    floor (22410.5)     		ty = 22410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28546 / 22410 ti = "16/28546/22410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28546/22410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28546 ÷ 216
    28546 ÷ 65536     		x = 0.435577392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22410 ÷ 216
    22410 ÷ 65536     		y = 0.341949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435577392578125 × 2 - 1) × π
    -0.12884521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40477918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341949462890625 × 2 - 1) × π
    0.31610107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.993060812529083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40477918} λ = -0.40477918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993060812529083))-π/2
    2×atan(2.6994844559266)-π/2
    2×1.21602847567033-π/2
    2.43205695134066-1.57079632675     		φ = 0.86126062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40477918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.192139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86126062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.346599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28546 KachelY 22410 -0.40477918 0.86126062 -23.192139 49.346599
    Oben rechts KachelX + 1 28547 KachelY 22410 -0.40468331 0.86126062 -23.186646 49.346599
    Unten links KachelX 28546 KachelY + 1 22411 -0.40477918 0.86119816 -23.192139 49.343020
    Unten rechts KachelX + 1 28547 KachelY + 1 22411 -0.40468331 0.86119816 -23.186646 49.343020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86126062-0.86119816) × R
    6.24599999999864e-05 × 6371000     		dl = 397.932659999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86126062-0.86119816) × R
    6.24599999999864e-05 × 6371000     		dr = 397.932659999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40477918--0.40468331) × cos(0.86126062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651481598510847 × 6371000     		do = 397.916992750467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40477918--0.40468331) × cos(0.86119816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651528983420706 × 6371000     		du = 397.945934873891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86126062)-sin(0.86119816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651481598510847-0.651528983420706)×R²
    abs(-0.40468331--0.40477918)×4.73849098593382e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73849098593382e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73849098593382e-05×40589641000000     		ar = 158349.925943854m²