Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28545 / 4481
↖ ↑ ↗
← N 78.347192°
E133.604737°		 ← 246.73 m → N 78.347192°
E133.615723°		 →
↑
246.81 m
↓
↑
246.81 m
↓
N 78.344972°
E133.604737°		 ← 246.78 m →
60 903 m²		 N 78.344972°
E133.615723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871139526367188 y=0.136764526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871139526367188 × 215)
    floor (0.871139526367188 × 32768)
    floor (28545.5)     		tx = 28545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136764526367188 × 215)
    floor (0.136764526367188 × 32768)
    floor (4481.5)     		ty = 4481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28545 / 4481 ti = "15/28545/4481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28545/4481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28545 ÷ 215
    28545 ÷ 32768     		x = 0.871124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4481 ÷ 215
    4481 ÷ 32768     		y = 0.136749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871124267578125 × 2 - 1) × π
    0.74224853515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33184255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136749267578125 × 2 - 1) × π
    0.72650146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28237166471011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33184255} λ = 2.33184255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28237166471011))-π/2
    2×atan(9.79989493509236)-π/2
    2×1.46910639232343-π/2
    2.93821278464685-1.57079632675     		φ = 1.36741646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33184255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.604737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36741646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.347192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28545 KachelY 4481 2.33184255 1.36741646 133.604737 78.347192
    Oben rechts KachelX + 1 28546 KachelY 4481 2.33203429 1.36741646 133.615723 78.347192
    Unten links KachelX 28545 KachelY + 1 4482 2.33184255 1.36737772 133.604737 78.344972
    Unten rechts KachelX + 1 28546 KachelY + 1 4482 2.33203429 1.36737772 133.615723 78.344972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36741646-1.36737772) × R
    3.87400000001481e-05 × 6371000     		dl = 246.812540000944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36741646-1.36737772) × R
    3.87400000001481e-05 × 6371000     		dr = 246.812540000944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33184255-2.33203429) × cos(1.36741646) × R
    0.000191739999999996 × 0.20198068422316 × 6371000     		do = 246.73466339947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33184255-2.33203429) × cos(1.36737772) × R
    0.000191739999999996 × 0.202018625621023 × 6371000     		du = 246.781011683053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36741646)-sin(1.36737772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20198068422316-0.202018625621023)×R²
    abs(2.33203429-2.33184255)×3.79413978630894e-05×R²
    0.000191739999999996×3.79413978630894e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.79413978630894e-05×40589641000000     		ar = 60902.928656342m²