Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28545 / 21127
↖ ↑ ↗
← N 53.725967°
W 23.197632°		 ← 361.37 m → N 53.725967°
W 23.192139°		 →
↑
361.36 m
↓
↑
361.36 m
↓
N 53.722717°
W 23.197632°		 ← 361.40 m →
130 591 m²		 N 53.722717°
W 23.192139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435569763183594 y=0.322380065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435569763183594 × 216)
    floor (0.435569763183594 × 65536)
    floor (28545.5)     		tx = 28545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322380065917969 × 216)
    floor (0.322380065917969 × 65536)
    floor (21127.5)     		ty = 21127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28545 / 21127 ti = "16/28545/21127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28545/21127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28545 ÷ 216
    28545 ÷ 65536     		x = 0.435562133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21127 ÷ 216
    21127 ÷ 65536     		y = 0.322372436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435562133789062 × 2 - 1) × π
    -0.128875732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40487505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322372436523438 × 2 - 1) × π
    0.355255126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11606689695415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40487505} λ = -0.40487505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11606689695415))-π/2
    2×atan(3.05282349041655)-π/2
    2×1.25424567079517-π/2
    2.50849134159034-1.57079632675     		φ = 0.93769501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40487505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.197632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93769501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.725967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28545 KachelY 21127 -0.40487505 0.93769501 -23.197632 53.725967
    Oben rechts KachelX + 1 28546 KachelY 21127 -0.40477918 0.93769501 -23.192139 53.725967
    Unten links KachelX 28545 KachelY + 1 21128 -0.40487505 0.93763829 -23.197632 53.722717
    Unten rechts KachelX + 1 28546 KachelY + 1 21128 -0.40477918 0.93763829 -23.192139 53.722717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93769501-0.93763829) × R
    5.67200000000101e-05 × 6371000     		dl = 361.363120000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93769501-0.93763829) × R
    5.67200000000101e-05 × 6371000     		dr = 361.363120000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40487505--0.40477918) × cos(0.93769501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591647869963704 × 6371000     		do = 361.371283120373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40487505--0.40477918) × cos(0.93763829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591693596477495 × 6371000     		du = 361.399212315761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93769501)-sin(0.93763829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591647869963704-0.591693596477495)×R²
    abs(-0.40477918--0.40487505)×4.57265137907559e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57265137907559e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57265137907559e-05×40589641000000     		ar = 130591.300672108m²