Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28545 / 21117
↖ ↑ ↗
← N 53.758454°
W 23.197632°		 ← 361.09 m → N 53.758454°
W 23.192139°		 →
↑
361.11 m
↓
↑
361.11 m
↓
N 53.755207°
W 23.197632°		 ← 361.12 m →
130 398 m²		 N 53.755207°
W 23.192139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435569763183594 y=0.322227478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435569763183594 × 216)
    floor (0.435569763183594 × 65536)
    floor (28545.5)     		tx = 28545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322227478027344 × 216)
    floor (0.322227478027344 × 65536)
    floor (21117.5)     		ty = 21117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28545 / 21117 ti = "16/28545/21117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28545/21117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28545 ÷ 216
    28545 ÷ 65536     		x = 0.435562133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21117 ÷ 216
    21117 ÷ 65536     		y = 0.322219848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435562133789062 × 2 - 1) × π
    -0.128875732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40487505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322219848632812 × 2 - 1) × π
    0.355560302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11702563494655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40487505} λ = -0.40487505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11702563494655))-π/2
    2×atan(3.05575175177432)-π/2
    2×1.25452917884342-π/2
    2.50905835768684-1.57079632675     		φ = 0.93826203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40487505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.197632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93826203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.758454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28545 KachelY 21117 -0.40487505 0.93826203 -23.197632 53.758454
    Oben rechts KachelX + 1 28546 KachelY 21117 -0.40477918 0.93826203 -23.192139 53.758454
    Unten links KachelX 28545 KachelY + 1 21118 -0.40487505 0.93820535 -23.197632 53.755207
    Unten rechts KachelX + 1 28546 KachelY + 1 21118 -0.40477918 0.93820535 -23.192139 53.755207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93826203-0.93820535) × R
    5.66799999999201e-05 × 6371000     		dl = 361.108279999491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93826203-0.93820535) × R
    5.66799999999201e-05 × 6371000     		dr = 361.108279999491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40487505--0.40477918) × cos(0.93826203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591190645337445 × 6371000     		do = 361.092015910511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40487505--0.40477918) × cos(0.93820535) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591236358612895 × 6371000     		du = 361.119937020082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93826203)-sin(0.93820535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591190645337445-0.591236358612895)×R²
    abs(-0.40477918--0.40487505)×4.57132754497769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57132754497769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57132754497769e-05×40589641000000     		ar = 130398.358093553m²