Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28545 / 19067
↖ ↑ ↗
← N 59.902713°
W 23.197632°		 ← 306.29 m → N 59.902713°
W 23.192139°		 →
↑
306.32 m
↓
↑
306.32 m
↓
N 59.899958°
W 23.197632°		 ← 306.32 m →
93 826 m²		 N 59.899958°
W 23.192139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435569763183594 y=0.290946960449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435569763183594 × 216)
    floor (0.435569763183594 × 65536)
    floor (28545.5)     		tx = 28545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290946960449219 × 216)
    floor (0.290946960449219 × 65536)
    floor (19067.5)     		ty = 19067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28545 / 19067 ti = "16/28545/19067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28545/19067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28545 ÷ 216
    28545 ÷ 65536     		x = 0.435562133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19067 ÷ 216
    19067 ÷ 65536     		y = 0.290939331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435562133789062 × 2 - 1) × π
    -0.128875732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40487505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290939331054688 × 2 - 1) × π
    0.418121337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.31356692338878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40487505} λ = -0.40487505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31356692338878))-π/2
    2×atan(3.71941695468173)-π/2
    2×1.30814795002905-π/2
    2.61629590005811-1.57079632675     		φ = 1.04549957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40487505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.197632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04549957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.902713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28545 KachelY 19067 -0.40487505 1.04549957 -23.197632 59.902713
    Oben rechts KachelX + 1 28546 KachelY 19067 -0.40477918 1.04549957 -23.192139 59.902713
    Unten links KachelX 28545 KachelY + 1 19068 -0.40487505 1.04545149 -23.197632 59.899958
    Unten rechts KachelX + 1 28546 KachelY + 1 19068 -0.40477918 1.04545149 -23.192139 59.899958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04549957-1.04545149) × R
    4.80800000000059e-05 × 6371000     		dl = 306.317680000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04549957-1.04545149) × R
    4.80800000000059e-05 × 6371000     		dr = 306.317680000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40487505--0.40477918) × cos(1.04549957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.501469773359932 × 6371000     		do = 306.291604592912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40487505--0.40477918) × cos(1.04545149) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.501511370402236 × 6371000     		du = 306.317011557619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04549957)-sin(1.04545149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501469773359932-0.501511370402236)×R²
    abs(-0.40477918--0.40487505)×4.1597042304331e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.1597042304331e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.1597042304331e-05×40589641000000     		ar = 93826.4250416976m²