Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28545 / 14466
↖ ↑ ↗
← N 70.374164°
W 23.197632°		 ← 205.15 m → N 70.374164°
W 23.192139°		 →
↑
205.15 m
↓
↑
205.15 m
↓
N 70.372319°
W 23.197632°		 ← 205.17 m →
42 087 m²		 N 70.372319°
W 23.192139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435569763183594 y=0.220741271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435569763183594 × 216)
    floor (0.435569763183594 × 65536)
    floor (28545.5)     		tx = 28545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220741271972656 × 216)
    floor (0.220741271972656 × 65536)
    floor (14466.5)     		ty = 14466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28545 / 14466 ti = "16/28545/14466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28545/14466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28545 ÷ 216
    28545 ÷ 65536     		x = 0.435562133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14466 ÷ 216
    14466 ÷ 65536     		y = 0.220733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435562133789062 × 2 - 1) × π
    -0.128875732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40487505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220733642578125 × 2 - 1) × π
    0.55853271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75468227369254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40487505} λ = -0.40487505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75468227369254))-π/2
    2×atan(5.78161048034994)-π/2
    2×1.39952860043709-π/2
    2.79905720087418-1.57079632675     		φ = 1.22826087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40487505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.197632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22826087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.374164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28545 KachelY 14466 -0.40487505 1.22826087 -23.197632 70.374164
    Oben rechts KachelX + 1 28546 KachelY 14466 -0.40477918 1.22826087 -23.192139 70.374164
    Unten links KachelX 28545 KachelY + 1 14467 -0.40487505 1.22822867 -23.197632 70.372319
    Unten rechts KachelX + 1 28546 KachelY + 1 14467 -0.40477918 1.22822867 -23.192139 70.372319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22826087-1.22822867) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dl = 205.146199999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22826087-1.22822867) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dr = 205.146199999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40487505--0.40477918) × cos(1.22826087) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335876331385237 × 6371000     		do = 205.149155442565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40487505--0.40477918) × cos(1.22822867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335906660587335 × 6371000     		du = 205.167680148281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22826087)-sin(1.22822867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335876331385237-0.335906660587335)×R²
    abs(-0.40477918--0.40487505)×3.03292020982227e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03292020982227e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03292020982227e-05×40589641000000     		ar = 42087.4698123065m²