Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28544 / 21120
↖ ↑ ↗
← N 53.748711°
W 23.203125°		 ← 361.21 m → N 53.748711°
W 23.197632°		 →
↑
361.17 m
↓
↑
361.17 m
↓
N 53.745463°
W 23.203125°		 ← 361.24 m →
130 465 m²		 N 53.745463°
W 23.197632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435554504394531 y=0.322273254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435554504394531 × 216)
    floor (0.435554504394531 × 65536)
    floor (28544.5)     		tx = 28544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322273254394531 × 216)
    floor (0.322273254394531 × 65536)
    floor (21120.5)     		ty = 21120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28544 / 21120 ti = "16/28544/21120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28544/21120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28544 ÷ 216
    28544 ÷ 65536     		x = 0.435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21120 ÷ 216
    21120 ÷ 65536     		y = 0.322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435546875 × 2 - 1) × π
    -0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322265625 × 2 - 1) × π
    0.35546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11673801354883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40497093} λ = -0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11673801354883))-π/2
    2×atan(3.05487297856743)-π/2
    2×1.25444414944207-π/2
    2.50888829888413-1.57079632675     		φ = 0.93809197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93809197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.748711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28544 KachelY 21120 -0.40497093 0.93809197 -23.203125 53.748711
    Oben rechts KachelX + 1 28545 KachelY 21120 -0.40487505 0.93809197 -23.197632 53.748711
    Unten links KachelX 28544 KachelY + 1 21121 -0.40497093 0.93803528 -23.203125 53.745463
    Unten rechts KachelX + 1 28545 KachelY + 1 21121 -0.40487505 0.93803528 -23.197632 53.745463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93809197-0.93803528) × R
    5.66899999999704e-05 × 6371000     		dl = 361.171989999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93809197-0.93803528) × R
    5.66899999999704e-05 × 6371000     		dr = 361.171989999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40497093--0.40487505) × cos(0.93809197) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.591327795594016 × 6371000     		do = 361.213459103714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40497093--0.40487505) × cos(0.93803528) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.591373511234075 × 6371000     		du = 361.241384570104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93809197)-sin(0.93803528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591327795594016-0.591373511234075)×R²
    abs(-0.40487505--0.40497093)×4.57156400591741e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.57156400591741e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.57156400591741e-05×40589641000000     		ar = 130465.226822375m²