Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28544 / 19084
N 59.855851°
W 23.203125°
← 306.76 m → N 59.855851°
W 23.197632°

306.70 m

306.70 m
N 59.853092°
W 23.203125°
← 306.78 m →
94 086 m²
N 59.853092°
W 23.197632°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435554504394531 y=0.291206359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435554504394531 × 216)
    floor (0.435554504394531 × 65536)
    floor (28544.5)
    tx = 28544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291206359863281 × 216)
    floor (0.291206359863281 × 65536)
    floor (19084.5)
    ty = 19084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28544 / 19084 ti = "16/28544/19084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28544/19084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28544 ÷ 216
    28544 ÷ 65536
    x = 0.435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19084 ÷ 216
    19084 ÷ 65536
    y = 0.29119873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.435546875 × 2 - 1) × π
    -0.12890625 × 3.1415926535
    Λ = -0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.29119873046875 × 2 - 1) × π
    0.4176025390625 × 3.1415926535
    Φ = 1.3119370688017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40497093} λ = -0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3119370688017))-π/2
    2×atan(3.71335978339195)-π/2
    2×1.30773900040755-π/2
    2.6154780008151-1.57079632675
    φ = 1.04468167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04468167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.855851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28544 KachelY 19084 -0.40497093 1.04468167 -23.203125 59.855851
    Oben rechts KachelX + 1 28545 KachelY 19084 -0.40487505 1.04468167 -23.197632 59.855851
    Unten links KachelX 28544 KachelY + 1 19085 -0.40497093 1.04463353 -23.203125 59.853092
    Unten rechts KachelX + 1 28545 KachelY + 1 19085 -0.40487505 1.04463353 -23.197632 59.853092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.04468167-1.04463353) × R
    4.81399999998633e-05 × 6371000
    dl = 306.699939999129m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.04468167-1.04463353) × R
    4.81399999998633e-05 × 6371000
    dr = 306.699939999129m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40497093--0.40487505) × cos(1.04468167) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.502177232316916 × 6371000
    do = 306.755705583068m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40497093--0.40487505) × cos(1.04463353) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.502218861508811 × 6371000
    du = 306.781134836548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.04468167)-sin(1.04463353))×
    abs(λ12)×abs(0.502177232316916-0.502218861508811)×
    abs(-0.40487505--0.40497093)×4.16291918946543e-05×
    9.58799999999926e-05×4.16291918946543e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.16291918946543e-05×40589641000000
    ar = 94085.8560900147m²