Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28543 / 19086
↖ ↑ ↗
← N 59.850333°
W 23.208618°		 ← 306.77 m → N 59.850333°
W 23.203125°		 →
↑
306.76 m
↓
↑
306.76 m
↓
N 59.847574°
W 23.208618°		 ← 306.80 m →
94 111 m²		 N 59.847574°
W 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435539245605469 y=0.291236877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435539245605469 × 216)
    floor (0.435539245605469 × 65536)
    floor (28543.5)     		tx = 28543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291236877441406 × 216)
    floor (0.291236877441406 × 65536)
    floor (19086.5)     		ty = 19086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28543 / 19086 ti = "16/28543/19086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28543/19086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28543 ÷ 216
    28543 ÷ 65536     		x = 0.435531616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19086 ÷ 216
    19086 ÷ 65536     		y = 0.291229248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435531616210938 × 2 - 1) × π
    -0.128936767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40506680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291229248046875 × 2 - 1) × π
    0.41754150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.31174532120322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40506680} λ = -0.40506680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31174532120322))-π/2
    2×atan(3.71264782383164)-π/2
    2×1.30769085077691-π/2
    2.61538170155382-1.57079632675     		φ = 1.04458537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40506680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.208618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04458537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.850333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28543 KachelY 19086 -0.40506680 1.04458537 -23.208618 59.850333
    Oben rechts KachelX + 1 28544 KachelY 19086 -0.40497093 1.04458537 -23.203125 59.850333
    Unten links KachelX 28543 KachelY + 1 19087 -0.40506680 1.04453722 -23.208618 59.847574
    Unten rechts KachelX + 1 28544 KachelY + 1 19087 -0.40497093 1.04453722 -23.203125 59.847574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04458537-1.04453722) × R
    4.81500000000246e-05 × 6371000     		dl = 306.763650000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04458537-1.04453722) × R
    4.81500000000246e-05 × 6371000     		dr = 306.763650000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40506680--0.40497093) × cos(1.04458537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.502260506831161 × 6371000     		do = 306.774574926468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40506680--0.40497093) × cos(1.04453722) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.502302142341653 × 6371000     		du = 306.800005387074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04458537)-sin(1.04453722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502260506831161-0.502302142341653)×R²
    abs(-0.40497093--0.40506680)×4.16355104926325e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16355104926325e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16355104926325e-05×40589641000000     		ar = 94111.1889201791m²