Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28542 / 4456
↖ ↑ ↗
← N 78.402537°
E133.571777°		 ← 245.59 m → N 78.402537°
E133.582764°		 →
↑
245.60 m
↓
↑
245.60 m
↓
N 78.400329°
E133.571777°		 ← 245.64 m →
60 323 m²		 N 78.400329°
E133.582764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871047973632812 y=0.136001586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871047973632812 × 215)
    floor (0.871047973632812 × 32768)
    floor (28542.5)     		tx = 28542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136001586914062 × 215)
    floor (0.136001586914062 × 32768)
    floor (4456.5)     		ty = 4456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28542 / 4456 ti = "15/28542/4456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28542/4456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28542 ÷ 215
    28542 ÷ 32768     		x = 0.87103271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4456 ÷ 215
    4456 ÷ 32768     		y = 0.135986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87103271484375 × 2 - 1) × π
    0.7420654296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33126730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135986328125 × 2 - 1) × π
    0.72802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28716535467212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33126730} λ = 2.33126730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28716535467212))-π/2
    2×atan(9.84698537137122)-π/2
    2×1.46958937398238-π/2
    2.93917874796477-1.57079632675     		φ = 1.36838242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33126730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.571777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36838242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.402537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28542 KachelY 4456 2.33126730 1.36838242 133.571777 78.402537
    Oben rechts KachelX + 1 28543 KachelY 4456 2.33145905 1.36838242 133.582764 78.402537
    Unten links KachelX 28542 KachelY + 1 4457 2.33126730 1.36834387 133.571777 78.400329
    Unten rechts KachelX + 1 28543 KachelY + 1 4457 2.33145905 1.36834387 133.582764 78.400329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36838242-1.36834387) × R
    3.85500000001926e-05 × 6371000     		dl = 245.602050001227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36838242-1.36834387) × R
    3.85500000001926e-05 × 6371000     		dr = 245.602050001227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33126730-2.33145905) × cos(1.36838242) × R
    0.000191749999999935 × 0.201034539051758 × 6371000     		do = 245.591683511202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33126730-2.33145905) × cos(1.36834387) × R
    0.000191749999999935 × 0.201072301871493 × 6371000     		du = 245.637816053982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36838242)-sin(1.36834387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201034539051758-0.201072301871493)×R²
    abs(2.33145905-2.33126730)×3.77628197355817e-05×R²
    0.000191749999999935×3.77628197355817e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.77628197355817e-05×40589641000000     		ar = 60323.4860643308m²