Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28541 / 21143
↖ ↑ ↗
← N 53.673935°
W 23.219605°		 ← 361.82 m → N 53.673935°
W 23.214112°		 →
↑
361.87 m
↓
↑
361.87 m
↓
N 53.670680°
W 23.219605°		 ← 361.85 m →
130 937 m²		 N 53.670680°
W 23.214112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435508728027344 y=0.322624206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435508728027344 × 216)
    floor (0.435508728027344 × 65536)
    floor (28541.5)     		tx = 28541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322624206542969 × 216)
    floor (0.322624206542969 × 65536)
    floor (21143.5)     		ty = 21143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28541 / 21143 ti = "16/28541/21143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28541/21143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28541 ÷ 216
    28541 ÷ 65536     		x = 0.435501098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21143 ÷ 216
    21143 ÷ 65536     		y = 0.322616577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435501098632812 × 2 - 1) × π
    -0.128997802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40525855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322616577148438 × 2 - 1) × π
    0.354766845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11453291616631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40525855} λ = -0.40525855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11453291616631))-π/2
    2×atan(3.04814410779269)-π/2
    2×1.25379160191431-π/2
    2.50758320382861-1.57079632675     		φ = 0.93678688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40525855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.219605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93678688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.673935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28541 KachelY 21143 -0.40525855 0.93678688 -23.219605 53.673935
    Oben rechts KachelX + 1 28542 KachelY 21143 -0.40516268 0.93678688 -23.214112 53.673935
    Unten links KachelX 28541 KachelY + 1 21144 -0.40525855 0.93673008 -23.219605 53.670680
    Unten rechts KachelX + 1 28542 KachelY + 1 21144 -0.40516268 0.93673008 -23.214112 53.670680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93678688-0.93673008) × R
    5.6799999999968e-05 × 6371000     		dl = 361.872799999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93678688-0.93673008) × R
    5.6799999999968e-05 × 6371000     		dr = 361.872799999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40525855--0.40516268) × cos(0.93678688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59237975712537 × 6371000     		do = 361.818310847738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40525855--0.40516268) × cos(0.93673008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592425517593882 × 6371000     		du = 361.846260782255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93678688)-sin(0.93673008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59237975712537-0.592425517593882)×R²
    abs(-0.40516268--0.40525855)×4.57604685127899e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57604685127899e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57604685127899e-05×40589641000000     		ar = 130937.262433703m²