Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28541 / 21141
↖ ↑ ↗
← N 53.680442°
W 23.219605°		 ← 361.76 m → N 53.680442°
W 23.214112°		 →
↑
361.81 m
↓
↑
361.81 m
↓
N 53.677188°
W 23.219605°		 ← 361.79 m →
130 894 m²		 N 53.677188°
W 23.214112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435508728027344 y=0.322593688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435508728027344 × 216)
    floor (0.435508728027344 × 65536)
    floor (28541.5)     		tx = 28541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322593688964844 × 216)
    floor (0.322593688964844 × 65536)
    floor (21141.5)     		ty = 21141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28541 / 21141 ti = "16/28541/21141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28541/21141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28541 ÷ 216
    28541 ÷ 65536     		x = 0.435501098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21141 ÷ 216
    21141 ÷ 65536     		y = 0.322586059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435501098632812 × 2 - 1) × π
    -0.128997802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40525855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322586059570312 × 2 - 1) × π
    0.354827880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11472466376479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40525855} λ = -0.40525855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11472466376479))-π/2
    2×atan(3.04872863814454)-π/2
    2×1.25384839122571-π/2
    2.50769678245143-1.57079632675     		φ = 0.93690046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40525855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.219605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93690046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.680442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28541 KachelY 21141 -0.40525855 0.93690046 -23.219605 53.680442
    Oben rechts KachelX + 1 28542 KachelY 21141 -0.40516268 0.93690046 -23.214112 53.680442
    Unten links KachelX 28541 KachelY + 1 21142 -0.40525855 0.93684367 -23.219605 53.677188
    Unten rechts KachelX + 1 28542 KachelY + 1 21142 -0.40516268 0.93684367 -23.214112 53.677188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93690046-0.93684367) × R
    5.67900000000288e-05 × 6371000     		dl = 361.809090000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93690046-0.93684367) × R
    5.67900000000288e-05 × 6371000     		dr = 361.809090000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40525855--0.40516268) × cos(0.93690046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592288246569537 × 6371000     		do = 361.76241731941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40525855--0.40516268) × cos(0.93684367) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592334002802623 × 6371000     		du = 361.79036466698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93690046)-sin(0.93684367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592288246569537-0.592334002802623)×R²
    abs(-0.40516268--0.40525855)×4.57562330856698e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57562330856698e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57562330856698e-05×40589641000000     		ar = 130893.986843762m²