Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28540 / 14888
↖ ↑ ↗
← N 69.580564°
W 23.225097°		 ← 213.10 m → N 69.580564°
W 23.219605°		 →
↑
213.11 m
↓
↑
213.11 m
↓
N 69.578647°
W 23.225097°		 ← 213.12 m →
45 415 m²		 N 69.578647°
W 23.219605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435493469238281 y=0.227180480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435493469238281 × 216)
    floor (0.435493469238281 × 65536)
    floor (28540.5)     		tx = 28540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227180480957031 × 216)
    floor (0.227180480957031 × 65536)
    floor (14888.5)     		ty = 14888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28540 / 14888 ti = "16/28540/14888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28540/14888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28540 ÷ 216
    28540 ÷ 65536     		x = 0.43548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14888 ÷ 216
    14888 ÷ 65536     		y = 0.2271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43548583984375 × 2 - 1) × π
    -0.1290283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40535442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2271728515625 × 2 - 1) × π
    0.545654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71422353041321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40535442} λ = -0.40535442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71422353041321))-π/2
    2×atan(5.55236259746271)-π/2
    2×1.39260312755526-π/2
    2.78520625511051-1.57079632675     		φ = 1.21440993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40535442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.225097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21440993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.580564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28540 KachelY 14888 -0.40535442 1.21440993 -23.225097 69.580564
    Oben rechts KachelX + 1 28541 KachelY 14888 -0.40525855 1.21440993 -23.219605 69.580564
    Unten links KachelX 28540 KachelY + 1 14889 -0.40535442 1.21437648 -23.225097 69.578647
    Unten rechts KachelX + 1 28541 KachelY + 1 14889 -0.40525855 1.21437648 -23.219605 69.578647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21440993-1.21437648) × R
    3.34499999998794e-05 × 6371000     		dl = 213.109949999232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21440993-1.21437648) × R
    3.34499999998794e-05 × 6371000     		dr = 213.109949999232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40535442--0.40525855) × cos(1.21440993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348889980855207 × 6371000     		do = 213.09773338189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40535442--0.40525855) × cos(1.21437648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348921328785434 × 6371000     		du = 213.116880314287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21440993)-sin(1.21437648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348889980855207-0.348921328785434)×R²
    abs(-0.40525855--0.40535442)×3.13479302270214e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13479302270214e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13479302270214e-05×40589641000000     		ar = 45415.2875110377m²