Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28536 / 19081
↖ ↑ ↗
← N 59.864125°
W 23.247070°		 ← 306.68 m → N 59.864125°
W 23.241577°		 →
↑
306.64 m
↓
↑
306.64 m
↓
N 59.861368°
W 23.247070°		 ← 306.70 m →
94 043 m²		 N 59.861368°
W 23.241577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435432434082031 y=0.291160583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435432434082031 × 216)
    floor (0.435432434082031 × 65536)
    floor (28536.5)     		tx = 28536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291160583496094 × 216)
    floor (0.291160583496094 × 65536)
    floor (19081.5)     		ty = 19081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28536 / 19081 ti = "16/28536/19081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28536/19081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28536 ÷ 216
    28536 ÷ 65536     		x = 0.4354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19081 ÷ 216
    19081 ÷ 65536     		y = 0.291152954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291152954101562 × 2 - 1) × π
    0.417694091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31222469019942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40573792} λ = -0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31222469019942))-π/2
    2×atan(3.71442797873364)-π/2
    2×1.30781120988501-π/2
    2.61562241977003-1.57079632675     		φ = 1.04482609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04482609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.864125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28536 KachelY 19081 -0.40573792 1.04482609 -23.247070 59.864125
    Oben rechts KachelX + 1 28537 KachelY 19081 -0.40564204 1.04482609 -23.241577 59.864125
    Unten links KachelX 28536 KachelY + 1 19082 -0.40573792 1.04477796 -23.247070 59.861368
    Unten rechts KachelX + 1 28537 KachelY + 1 19082 -0.40564204 1.04477796 -23.241577 59.861368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04482609-1.04477796) × R
    4.81299999999241e-05 × 6371000     		dl = 306.636229999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04482609-1.04477796) × R
    4.81299999999241e-05 × 6371000     		dr = 306.636229999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40573792--0.40564204) × cos(1.04482609) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.502052337758965 × 6371000     		do = 306.6794135575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40573792--0.40564204) × cos(1.04477796) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.502093961793766 × 6371000     		du = 306.704839660762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04482609)-sin(1.04477796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502052337758965-0.502093961793766)×R²
    abs(-0.40564204--0.40573792)×4.16240348009023e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.16240348009023e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.16240348009023e-05×40589641000000     		ar = 94042.9174919776m²