Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28536 / 14552
↖ ↑ ↗
← N 70.214875°
W 23.247070°		 ← 206.77 m → N 70.214875°
W 23.241577°		 →
↑
206.80 m
↓
↑
206.80 m
↓
N 70.213015°
W 23.247070°		 ← 206.79 m →
42 762 m²		 N 70.213015°
W 23.241577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435432434082031 y=0.222053527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435432434082031 × 216)
    floor (0.435432434082031 × 65536)
    floor (28536.5)     		tx = 28536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222053527832031 × 216)
    floor (0.222053527832031 × 65536)
    floor (14552.5)     		ty = 14552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28536 / 14552 ti = "16/28536/14552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28536/14552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28536 ÷ 216
    28536 ÷ 65536     		x = 0.4354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14552 ÷ 216
    14552 ÷ 65536     		y = 0.2220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2220458984375 × 2 - 1) × π
    0.555908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74643712695789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40573792} λ = -0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74643712695789))-π/2
    2×atan(5.7341362385726)-π/2
    2×1.3981385366767-π/2
    2.7962770733534-1.57079632675     		φ = 1.22548075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22548075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.214875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28536 KachelY 14552 -0.40573792 1.22548075 -23.247070 70.214875
    Oben rechts KachelX + 1 28537 KachelY 14552 -0.40564204 1.22548075 -23.241577 70.214875
    Unten links KachelX 28536 KachelY + 1 14553 -0.40573792 1.22544829 -23.247070 70.213015
    Unten rechts KachelX + 1 28537 KachelY + 1 14553 -0.40564204 1.22544829 -23.241577 70.213015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22548075-1.22544829) × R
    3.24599999999009e-05 × 6371000     		dl = 206.802659999369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22548075-1.22544829) × R
    3.24599999999009e-05 × 6371000     		dr = 206.802659999369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40573792--0.40564204) × cos(1.22548075) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.338493641977666 × 6371000     		do = 206.769342172631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40573792--0.40564204) × cos(1.22544829) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.338524185642644 × 6371000     		du = 206.787999815588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22548075)-sin(1.22544829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338493641977666-0.338524185642644)×R²
    abs(-0.40564204--0.40573792)×3.05436649787882e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.05436649787882e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.05436649787882e-05×40589641000000     		ar = 42762.3791967969m²