Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28535 / 14553
↖ ↑ ↗
← N 70.213015°
W 23.252563°		 ← 206.77 m → N 70.213015°
W 23.247070°		 →
↑
206.74 m
↓
↑
206.74 m
↓
N 70.211156°
W 23.252563°		 ← 206.79 m →
42 749 m²		 N 70.211156°
W 23.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435417175292969 y=0.222068786621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435417175292969 × 216)
    floor (0.435417175292969 × 65536)
    floor (28535.5)     		tx = 28535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222068786621094 × 216)
    floor (0.222068786621094 × 65536)
    floor (14553.5)     		ty = 14553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28535 / 14553 ti = "16/28535/14553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28535/14553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28535 ÷ 216
    28535 ÷ 65536     		x = 0.435409545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14553 ÷ 216
    14553 ÷ 65536     		y = 0.222061157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435409545898438 × 2 - 1) × π
    -0.129180908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40583379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222061157226562 × 2 - 1) × π
    0.555877685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74634125315865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40583379} λ = -0.40583379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74634125315865))-π/2
    2×atan(5.73358651149868)-π/2
    2×1.39812230960886-π/2
    2.79624461921772-1.57079632675     		φ = 1.22544829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40583379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.252563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22544829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.213015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28535 KachelY 14553 -0.40583379 1.22544829 -23.252563 70.213015
    Oben rechts KachelX + 1 28536 KachelY 14553 -0.40573792 1.22544829 -23.247070 70.213015
    Unten links KachelX 28535 KachelY + 1 14554 -0.40583379 1.22541584 -23.252563 70.211156
    Unten rechts KachelX + 1 28536 KachelY + 1 14554 -0.40573792 1.22541584 -23.247070 70.211156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22544829-1.22541584) × R
    3.24500000001837e-05 × 6371000     		dl = 206.73895000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22544829-1.22541584) × R
    3.24500000001837e-05 × 6371000     		dr = 206.73895000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40583379--0.40573792) × cos(1.22544829) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.338524185642644 × 6371000     		do = 206.766432439852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40583379--0.40573792) × cos(1.22541584) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.33855471954147 × 6371000     		du = 206.785082171825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22544829)-sin(1.22541584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338524185642644-0.33855471954147)×R²
    abs(-0.40573792--0.40583379)×3.05338988254023e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.05338988254023e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.05338988254023e-05×40589641000000     		ar = 42748.6029547121m²