Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28534 / 21170
↖ ↑ ↗
← N 53.585984°
W 23.258057°		 ← 362.61 m → N 53.585984°
W 23.252563°		 →
↑
362.64 m
↓
↑
362.64 m
↓
N 53.582723°
W 23.258057°		 ← 362.64 m →
131 501 m²		 N 53.582723°
W 23.252563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435401916503906 y=0.323036193847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435401916503906 × 216)
    floor (0.435401916503906 × 65536)
    floor (28534.5)     		tx = 28534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323036193847656 × 216)
    floor (0.323036193847656 × 65536)
    floor (21170.5)     		ty = 21170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28534 / 21170 ti = "16/28534/21170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28534/21170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28534 ÷ 216
    28534 ÷ 65536     		x = 0.435394287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21170 ÷ 216
    21170 ÷ 65536     		y = 0.323028564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435394287109375 × 2 - 1) × π
    -0.12921142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40592967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323028564453125 × 2 - 1) × π
    0.35394287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11194432358682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40592967} λ = -0.40592967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11194432358682))-π/2
    2×atan(3.04026390828736)-π/2
    2×1.25302408723398-π/2
    2.50604817446796-1.57079632675     		φ = 0.93525185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40592967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.258057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93525185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.585984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28534 KachelY 21170 -0.40592967 0.93525185 -23.258057 53.585984
    Oben rechts KachelX + 1 28535 KachelY 21170 -0.40583379 0.93525185 -23.252563 53.585984
    Unten links KachelX 28534 KachelY + 1 21171 -0.40592967 0.93519493 -23.258057 53.582723
    Unten rechts KachelX + 1 28535 KachelY + 1 21171 -0.40583379 0.93519493 -23.252563 53.582723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93525185-0.93519493) × R
    5.69200000000158e-05 × 6371000     		dl = 362.637320000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93525185-0.93519493) × R
    5.69200000000158e-05 × 6371000     		dr = 362.637320000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40592967--0.40583379) × cos(0.93525185) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.593615769265901 × 6371000     		do = 362.611071207386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40592967--0.40583379) × cos(0.93519493) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.593661574594892 × 6371000     		du = 362.639051460392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93525185)-sin(0.93519493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593615769265901-0.593661574594892)×R²
    abs(-0.40583379--0.40592967)×4.58053289915661e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.58053289915661e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.58053289915661e-05×40589641000000     		ar = 131501.380442235m²