Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28534 / 14555
↖ ↑ ↗
← N 70.209296°
W 23.258057°		 ← 206.83 m → N 70.209296°
W 23.252563°		 →
↑
206.87 m
↓
↑
206.87 m
↓
N 70.207436°
W 23.258057°		 ← 206.84 m →
42 787 m²		 N 70.207436°
W 23.252563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435401916503906 y=0.222099304199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435401916503906 × 216)
    floor (0.435401916503906 × 65536)
    floor (28534.5)     		tx = 28534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222099304199219 × 216)
    floor (0.222099304199219 × 65536)
    floor (14555.5)     		ty = 14555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28534 / 14555 ti = "16/28534/14555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28534/14555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28534 ÷ 216
    28534 ÷ 65536     		x = 0.435394287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14555 ÷ 216
    14555 ÷ 65536     		y = 0.222091674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435394287109375 × 2 - 1) × π
    -0.12921142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40592967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222091674804688 × 2 - 1) × π
    0.555816650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74614950556017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40592967} λ = -0.40592967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74614950556017))-π/2
    2×atan(5.73248721545147)-π/2
    2×1.39808985108119-π/2
    2.79617970216238-1.57079632675     		φ = 1.22538338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40592967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.258057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22538338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.209296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28534 KachelY 14555 -0.40592967 1.22538338 -23.258057 70.209296
    Oben rechts KachelX + 1 28535 KachelY 14555 -0.40583379 1.22538338 -23.252563 70.209296
    Unten links KachelX 28534 KachelY + 1 14556 -0.40592967 1.22535091 -23.258057 70.207436
    Unten rechts KachelX + 1 28535 KachelY + 1 14556 -0.40583379 1.22535091 -23.252563 70.207436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22538338-1.22535091) × R
    3.24700000000622e-05 × 6371000     		dl = 206.866370000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22538338-1.22535091) × R
    3.24700000000622e-05 × 6371000     		dr = 206.866370000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40592967--0.40583379) × cos(1.22538338) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.338585262493153 × 6371000     		do = 206.825308700115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40592967--0.40583379) × cos(1.22535091) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.338615814497333 × 6371000     		du = 206.843971437085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22538338)-sin(1.22535091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338585262493153-0.338615814497333)×R²
    abs(-0.40583379--0.40592967)×3.05520041798402e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.05520041798402e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.05520041798402e-05×40589641000000     		ar = 42787.1311850886m²