Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28533 / 4475
↖ ↑ ↗
← N 78.360498°
E133.472900°		 ← 246.47 m → N 78.360498°
E133.483887°		 →
↑
246.49 m
↓
↑
246.49 m
↓
N 78.358282°
E133.472900°		 ← 246.52 m →
60 759 m²		 N 78.358282°
E133.483887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870773315429688 y=0.136581420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870773315429688 × 215)
    floor (0.870773315429688 × 32768)
    floor (28533.5)     		tx = 28533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136581420898438 × 215)
    floor (0.136581420898438 × 32768)
    floor (4475.5)     		ty = 4475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28533 / 4475 ti = "15/28533/4475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28533/4475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28533 ÷ 215
    28533 ÷ 32768     		x = 0.870758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4475 ÷ 215
    4475 ÷ 32768     		y = 0.136566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870758056640625 × 2 - 1) × π
    0.74151611328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32954157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136566162109375 × 2 - 1) × π
    0.72686767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28352215030099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32954157} λ = 2.32954157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28352215030099))-π/2
    2×atan(9.81117606114949)-π/2
    2×1.46922251482285-π/2
    2.93844502964569-1.57079632675     		φ = 1.36764870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32954157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.472900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36764870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.360498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28533 KachelY 4475 2.32954157 1.36764870 133.472900 78.360498
    Oben rechts KachelX + 1 28534 KachelY 4475 2.32973332 1.36764870 133.483887 78.360498
    Unten links KachelX 28533 KachelY + 1 4476 2.32954157 1.36761001 133.472900 78.358282
    Unten rechts KachelX + 1 28534 KachelY + 1 4476 2.32973332 1.36761001 133.483887 78.358282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36764870-1.36761001) × R
    3.86900000000079e-05 × 6371000     		dl = 246.49399000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36764870-1.36761001) × R
    3.86900000000079e-05 × 6371000     		dr = 246.49399000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32954157-2.32973332) × cos(1.36764870) × R
    0.000191749999999935 × 0.201753225359524 × 6371000     		do = 246.469658913207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32954157-2.32973332) × cos(1.36761001) × R
    0.000191749999999935 × 0.201791119602322 × 6371000     		du = 246.515952007557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36764870)-sin(1.36761001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201753225359524-0.201791119602322)×R²
    abs(2.32973332-2.32954157)×3.78942427973483e-05×R²
    0.000191749999999935×3.78942427973483e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.78942427973483e-05×40589641000000     		ar = 60758.9951318164m²