Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28532 / 4476
↖ ↑ ↗
← N 78.358282°
E133.461914°		 ← 246.50 m → N 78.358282°
E133.472900°		 →
↑
246.49 m
↓
↑
246.49 m
↓
N 78.356065°
E133.461914°		 ← 246.55 m →
60 767 m²		 N 78.356065°
E133.472900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870742797851562 y=0.136611938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870742797851562 × 215)
    floor (0.870742797851562 × 32768)
    floor (28532.5)     		tx = 28532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136611938476562 × 215)
    floor (0.136611938476562 × 32768)
    floor (4476.5)     		ty = 4476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28532 / 4476 ti = "15/28532/4476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28532/4476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28532 ÷ 215
    28532 ÷ 32768     		x = 0.8707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4476 ÷ 215
    4476 ÷ 32768     		y = 0.1365966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8707275390625 × 2 - 1) × π
    0.741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32934983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1365966796875 × 2 - 1) × π
    0.726806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28333040270251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32934983} λ = 2.32934983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28333040270251))-π/2
    2×atan(9.80929497205443)-π/2
    2×1.46920317015844-π/2
    2.93840634031688-1.57079632675     		φ = 1.36761001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32934983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.461914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36761001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.358282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28532 KachelY 4476 2.32934983 1.36761001 133.461914 78.358282
    Oben rechts KachelX + 1 28533 KachelY 4476 2.32954157 1.36761001 133.472900 78.358282
    Unten links KachelX 28532 KachelY + 1 4477 2.32934983 1.36757132 133.461914 78.356065
    Unten rechts KachelX + 1 28533 KachelY + 1 4477 2.32954157 1.36757132 133.472900 78.356065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36761001-1.36757132) × R
    3.86900000000079e-05 × 6371000     		dl = 246.49399000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36761001-1.36757132) × R
    3.86900000000079e-05 × 6371000     		dr = 246.49399000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32934983-2.32954157) × cos(1.36761001) × R
    0.000191739999999996 × 0.201791119602322 × 6371000     		do = 246.503095895405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32934983-2.32954157) × cos(1.36757132) × R
    0.000191739999999996 × 0.201829013543055 × 6371000     		du = 246.549386206519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36761001)-sin(1.36757132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201791119602322-0.201829013543055)×R²
    abs(2.32954157-2.32934983)×3.78939407329471e-05×R²
    0.000191739999999996×3.78939407329471e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.78939407329471e-05×40589641000000     		ar = 60767.2368042206m²