Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28532 / 4460
↖ ↑ ↗
← N 78.393700°
E133.461914°		 ← 245.76 m → N 78.393700°
E133.472900°		 →
↑
245.79 m
↓
↑
245.79 m
↓
N 78.391489°
E133.461914°		 ← 245.81 m →
60 413 m²		 N 78.391489°
E133.472900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870742797851562 y=0.136123657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870742797851562 × 215)
    floor (0.870742797851562 × 32768)
    floor (28532.5)     		tx = 28532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136123657226562 × 215)
    floor (0.136123657226562 × 32768)
    floor (4460.5)     		ty = 4460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28532 / 4460 ti = "15/28532/4460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28532/4460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28532 ÷ 215
    28532 ÷ 32768     		x = 0.8707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4460 ÷ 215
    4460 ÷ 32768     		y = 0.1361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8707275390625 × 2 - 1) × π
    0.741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32934983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1361083984375 × 2 - 1) × π
    0.727783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2863983642782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32934983} λ = 2.32934983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2863983642782))-π/2
    2×atan(9.83943572380599)-π/2
    2×1.46951224923348-π/2
    2.93902449846695-1.57079632675     		φ = 1.36822817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32934983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.461914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36822817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.393700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28532 KachelY 4460 2.32934983 1.36822817 133.461914 78.393700
    Oben rechts KachelX + 1 28533 KachelY 4460 2.32954157 1.36822817 133.472900 78.393700
    Unten links KachelX 28532 KachelY + 1 4461 2.32934983 1.36818959 133.461914 78.391489
    Unten rechts KachelX + 1 28533 KachelY + 1 4461 2.32954157 1.36818959 133.472900 78.391489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36822817-1.36818959) × R
    3.85800000000103e-05 × 6371000     		dl = 245.793180000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36822817-1.36818959) × R
    3.85800000000103e-05 × 6371000     		dr = 245.793180000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32934983-2.32954157) × cos(1.36822817) × R
    0.000191739999999996 × 0.201185637515247 × 6371000     		do = 245.763453787927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32934983-2.32954157) × cos(1.36818959) × R
    0.000191739999999996 × 0.201223428525363 × 6371000     		du = 245.809618361517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36822817)-sin(1.36818959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201185637515247-0.201223428525363)×R²
    abs(2.32954157-2.32934983)×3.77910101158896e-05×R²
    0.000191739999999996×3.77910101158896e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.77910101158896e-05×40589641000000     		ar = 60412.6543110925m²