Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28532 / 4444
↖ ↑ ↗
← N 78.429011°
E133.461914°		 ← 245.03 m → N 78.429011°
E133.472900°		 →
↑
245.03 m
↓
↑
245.03 m
↓
N 78.426807°
E133.461914°		 ← 245.07 m →
60 044 m²		 N 78.426807°
E133.472900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870742797851562 y=0.135635375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870742797851562 × 215)
    floor (0.870742797851562 × 32768)
    floor (28532.5)     		tx = 28532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135635375976562 × 215)
    floor (0.135635375976562 × 32768)
    floor (4444.5)     		ty = 4444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28532 / 4444 ti = "15/28532/4444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28532/4444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28532 ÷ 215
    28532 ÷ 32768     		x = 0.8707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4444 ÷ 215
    4444 ÷ 32768     		y = 0.1356201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8707275390625 × 2 - 1) × π
    0.741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32934983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1356201171875 × 2 - 1) × π
    0.728759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28946632585388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32934983} λ = 2.32934983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28946632585388))-π/2
    2×atan(9.86966908821918)-π/2
    2×1.46982040084878-π/2
    2.93964080169756-1.57079632675     		φ = 1.36884447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32934983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.461914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36884447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.429011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28532 KachelY 4444 2.32934983 1.36884447 133.461914 78.429011
    Oben rechts KachelX + 1 28533 KachelY 4444 2.32954157 1.36884447 133.472900 78.429011
    Unten links KachelX 28532 KachelY + 1 4445 2.32934983 1.36880601 133.461914 78.426807
    Unten rechts KachelX + 1 28533 KachelY + 1 4445 2.32954157 1.36880601 133.472900 78.426807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36884447-1.36880601) × R
    3.84600000000734e-05 × 6371000     		dl = 245.028660000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36884447-1.36880601) × R
    3.84600000000734e-05 × 6371000     		dr = 245.028660000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32934983-2.32954157) × cos(1.36884447) × R
    0.000191739999999996 × 0.200581900750211 × 6371000     		do = 245.02594372316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32934983-2.32954157) × cos(1.36880601) × R
    0.000191739999999996 × 0.200619578976855 × 6371000     		du = 245.071970523219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36884447)-sin(1.36880601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200581900750211-0.200619578976855)×R²
    abs(2.32954157-2.32934983)×3.76782266442444e-05×R²
    0.000191739999999996×3.76782266442444e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.76782266442444e-05×40589641000000     		ar = 60044.0176063375m²