Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28532 / 22388
↖ ↑ ↗
← N 49.425267°
W 23.269043°		 ← 397.28 m → N 49.425267°
W 23.263550°		 →
↑
397.36 m
↓
↑
397.36 m
↓
N 49.421694°
W 23.269043°		 ← 397.31 m →
157 869 m²		 N 49.421694°
W 23.263550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435371398925781 y=0.341621398925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435371398925781 × 216)
    floor (0.435371398925781 × 65536)
    floor (28532.5)     		tx = 28532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341621398925781 × 216)
    floor (0.341621398925781 × 65536)
    floor (22388.5)     		ty = 22388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28532 / 22388 ti = "16/28532/22388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28532/22388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28532 ÷ 216
    28532 ÷ 65536     		x = 0.43536376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22388 ÷ 216
    22388 ÷ 65536     		y = 0.34161376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43536376953125 × 2 - 1) × π
    -0.1292724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40612141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34161376953125 × 2 - 1) × π
    0.3167724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.995170036112366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40612141} λ = -0.40612141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995170036112366))-π/2
    2×atan(2.70518428119355)-π/2
    2×1.21671498620542-π/2
    2.43342997241083-1.57079632675     		φ = 0.86263365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40612141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.269043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86263365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.425267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28532 KachelY 22388 -0.40612141 0.86263365 -23.269043 49.425267
    Oben rechts KachelX + 1 28533 KachelY 22388 -0.40602554 0.86263365 -23.263550 49.425267
    Unten links KachelX 28532 KachelY + 1 22389 -0.40612141 0.86257128 -23.269043 49.421694
    Unten rechts KachelX + 1 28533 KachelY + 1 22389 -0.40602554 0.86257128 -23.263550 49.421694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86263365-0.86257128) × R
    6.23699999999783e-05 × 6371000     		dl = 397.359269999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86263365-0.86257128) × R
    6.23699999999783e-05 × 6371000     		dr = 397.359269999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40612141--0.40602554) × cos(0.86263365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650439315717097 × 6371000     		do = 397.280379167163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40612141--0.40602554) × cos(0.86257128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650486688098425 × 6371000     		du = 397.309313638314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86263365)-sin(0.86257128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650439315717097-0.650486688098425)×R²
    abs(-0.40602554--0.40612141)×4.73723813281257e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73723813281257e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73723813281257e-05×40589641000000     		ar = 157868.790192472m²