Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28531 / 4477
↖ ↑ ↗
← N 78.356065°
E133.450928°		 ← 246.56 m → N 78.356065°
E133.461914°		 →
↑
246.62 m
↓
↑
246.62 m
↓
N 78.353847°
E133.450928°		 ← 246.61 m →
60 813 m²		 N 78.353847°
E133.461914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870712280273438 y=0.136642456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870712280273438 × 215)
    floor (0.870712280273438 × 32768)
    floor (28531.5)     		tx = 28531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136642456054688 × 215)
    floor (0.136642456054688 × 32768)
    floor (4477.5)     		ty = 4477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28531 / 4477 ti = "15/28531/4477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28531/4477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28531 ÷ 215
    28531 ÷ 32768     		x = 0.870697021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4477 ÷ 215
    4477 ÷ 32768     		y = 0.136627197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870697021484375 × 2 - 1) × π
    0.74139404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.32915808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136627197265625 × 2 - 1) × π
    0.72674560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28313865510403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32915808} λ = 2.32915808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28313865510403))-π/2
    2×atan(9.80741424361909)-π/2
    2×1.46918382186071-π/2
    2.93836764372142-1.57079632675     		φ = 1.36757132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32915808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.450928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36757132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.356065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28531 KachelY 4477 2.32915808 1.36757132 133.450928 78.356065
    Oben rechts KachelX + 1 28532 KachelY 4477 2.32934983 1.36757132 133.461914 78.356065
    Unten links KachelX 28531 KachelY + 1 4478 2.32915808 1.36753261 133.450928 78.353847
    Unten rechts KachelX + 1 28532 KachelY + 1 4478 2.32934983 1.36753261 133.461914 78.353847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36757132-1.36753261) × R
    3.87099999998863e-05 × 6371000     		dl = 246.621409999276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36757132-1.36753261) × R
    3.87099999998863e-05 × 6371000     		dr = 246.621409999276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32915808-2.32934983) × cos(1.36757132) × R
    0.000191749999999935 × 0.201829013543055 × 6371000     		do = 246.562244732894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32915808-2.32934983) × cos(1.36753261) × R
    0.000191749999999935 × 0.201866926769926 × 6371000     		du = 246.608561018933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36757132)-sin(1.36753261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201829013543055-0.201866926769926)×R²
    abs(2.32934983-2.32915808)×3.7913226870967e-05×R²
    0.000191749999999935×3.7913226870967e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.7913226870967e-05×40589641000000     		ar = 60813.2397503053m²