Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28529 / 20561
↖ ↑ ↗
← N 76.790073°
W101.642761°		 ← 69.78 m → N 76.790073°
W101.640015°		 →
↑
69.83 m
↓
↑
69.83 m
↓
N 76.789445°
W101.642761°		 ← 69.78 m →
4 873 m²		 N 76.789445°
W101.640015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217662811279297 y=0.156871795654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217662811279297 × 217)
    floor (0.217662811279297 × 131072)
    floor (28529.5)     		tx = 28529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156871795654297 × 217)
    floor (0.156871795654297 × 131072)
    floor (20561.5)     		ty = 20561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28529 / 20561 ti = "17/28529/20561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28529/20561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28529 ÷ 217
    28529 ÷ 131072     		x = 0.217658996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20561 ÷ 217
    20561 ÷ 131072     		y = 0.156867980957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.217658996582031 × 2 - 1) × π
    -0.564682006835938 × 3.1415926535     		Λ = -1.77400084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156867980957031 × 2 - 1) × π
    0.686264038085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.15596206041203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77400084} λ = -1.77400084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15596206041203))-π/2
    2×atan(8.63619472464603)-π/2
    2×1.45551796610797-π/2
    2.91103593221594-1.57079632675     		φ = 1.34023961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77400084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.642761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34023961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.790073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28529 KachelY 20561 -1.77400084 1.34023961 -101.642761 76.790073
    Oben rechts KachelX + 1 28530 KachelY 20561 -1.77395291 1.34023961 -101.640015 76.790073
    Unten links KachelX 28529 KachelY + 1 20562 -1.77400084 1.34022865 -101.642761 76.789445
    Unten rechts KachelX + 1 28530 KachelY + 1 20562 -1.77395291 1.34022865 -101.640015 76.789445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34023961-1.34022865) × R
    1.09600000000043e-05 × 6371000     		dl = 69.8261600000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34023961-1.34022865) × R
    1.09600000000043e-05 × 6371000     		dr = 69.8261600000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77400084--1.77395291) × cos(1.34023961) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228519544612969 × 6371000     		do = 69.7811920377345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77400084--1.77395291) × cos(1.34022865) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228530214590248 × 6371000     		du = 69.7844502436564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34023961)-sin(1.34022865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228519544612969-0.228530214590248)×R²
    abs(-1.77395291--1.77400084)×1.06699772789987e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06699772789987e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06699772789987e-05×40589641000000     		ar = 4872.66643430761m²