Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28528 / 20562
↖ ↑ ↗
← N 76.789445°
W101.645508°		 ← 69.80 m → N 76.789445°
W101.642761°		 →
↑
69.76 m
↓
↑
69.76 m
↓
N 76.788818°
W101.645508°		 ← 69.80 m →
4 869 m²		 N 76.788818°
W101.642761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217655181884766 y=0.156879425048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217655181884766 × 217)
    floor (0.217655181884766 × 131072)
    floor (28528.5)     		tx = 28528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156879425048828 × 217)
    floor (0.156879425048828 × 131072)
    floor (20562.5)     		ty = 20562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28528 / 20562 ti = "17/28528/20562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28528/20562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28528 ÷ 217
    28528 ÷ 131072     		x = 0.2176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20562 ÷ 217
    20562 ÷ 131072     		y = 0.156875610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2176513671875 × 2 - 1) × π
    -0.564697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.77404878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156875610351562 × 2 - 1) × π
    0.686248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15591412351241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77404878} λ = -1.77404878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15591412351241))-π/2
    2×atan(8.63578074216901)-π/2
    2×1.45551248872082-π/2
    2.91102497744164-1.57079632675     		φ = 1.34022865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77404878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34022865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.789445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28528 KachelY 20562 -1.77404878 1.34022865 -101.645508 76.789445
    Oben rechts KachelX + 1 28529 KachelY 20562 -1.77400084 1.34022865 -101.642761 76.789445
    Unten links KachelX 28528 KachelY + 1 20563 -1.77404878 1.34021770 -101.645508 76.788818
    Unten rechts KachelX + 1 28529 KachelY + 1 20563 -1.77400084 1.34021770 -101.642761 76.788818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34022865-1.34021770) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dl = 69.7624500004146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34022865-1.34021770) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dr = 69.7624500004146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77404878--1.77400084) × cos(1.34022865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228530214590248 × 6371000     		do = 69.7990099035395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77404878--1.77400084) × cos(1.34021770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228540874804732 × 6371000     		du = 69.802265807437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34022865)-sin(1.34021770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228530214590248-0.228540874804732)×R²
    abs(-1.77400084--1.77404878)×1.06602144845092e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06602144845092e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06602144845092e-05×40589641000000     		ar = 4869.46350851335m²