Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28527 / 21169
↖ ↑ ↗
← N 53.589244°
W 23.296509°		 ← 362.55 m → N 53.589244°
W 23.291016°		 →
↑
362.57 m
↓
↑
362.57 m
↓
N 53.585984°
W 23.296509°		 ← 362.57 m →
131 454 m²		 N 53.585984°
W 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435295104980469 y=0.323020935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435295104980469 × 216)
    floor (0.435295104980469 × 65536)
    floor (28527.5)     		tx = 28527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323020935058594 × 216)
    floor (0.323020935058594 × 65536)
    floor (21169.5)     		ty = 21169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28527 / 21169 ti = "16/28527/21169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28527/21169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28527 ÷ 216
    28527 ÷ 65536     		x = 0.435287475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21169 ÷ 216
    21169 ÷ 65536     		y = 0.323013305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435287475585938 × 2 - 1) × π
    -0.129425048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40660078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323013305664062 × 2 - 1) × π
    0.353973388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11204019738606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40660078} λ = -0.40660078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11204019738606))-π/2
    2×atan(3.04055540391211)-π/2
    2×1.25305254223587-π/2
    2.50610508447175-1.57079632675     		φ = 0.93530876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40660078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.296509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93530876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.589244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28527 KachelY 21169 -0.40660078 0.93530876 -23.296509 53.589244
    Oben rechts KachelX + 1 28528 KachelY 21169 -0.40650491 0.93530876 -23.291016 53.589244
    Unten links KachelX 28527 KachelY + 1 21170 -0.40660078 0.93525185 -23.296509 53.585984
    Unten rechts KachelX + 1 28528 KachelY + 1 21170 -0.40650491 0.93525185 -23.291016 53.585984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93530876-0.93525185) × R
    5.69099999999656e-05 × 6371000     		dl = 362.573609999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93530876-0.93525185) × R
    5.69099999999656e-05 × 6371000     		dr = 362.573609999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40660078--0.40650491) × cos(0.93530876) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.593569970061485 × 6371000     		do = 362.545278352814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40660078--0.40650491) × cos(0.93525185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.593615769265901 × 6371000     		du = 362.573251946746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93530876)-sin(0.93525185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593569970061485-0.593615769265901)×R²
    abs(-0.40650491--0.40660078)×4.57992044152755e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57992044152755e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57992044152755e-05×40589641000000     		ar = 131454.421639855m²