Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28526 / 14566
↖ ↑ ↗
← N 70.188826°
W 23.302002°		 ← 207.03 m → N 70.188826°
W 23.296509°		 →
↑
206.99 m
↓
↑
206.99 m
↓
N 70.186965°
W 23.302002°		 ← 207.05 m →
42 856 m²		 N 70.186965°
W 23.296509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435279846191406 y=0.222267150878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435279846191406 × 216)
    floor (0.435279846191406 × 65536)
    floor (28526.5)     		tx = 28526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222267150878906 × 216)
    floor (0.222267150878906 × 65536)
    floor (14566.5)     		ty = 14566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28526 / 14566 ti = "16/28526/14566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28526/14566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28526 ÷ 216
    28526 ÷ 65536     		x = 0.435272216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14566 ÷ 216
    14566 ÷ 65536     		y = 0.222259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435272216796875 × 2 - 1) × π
    -0.12945556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40669666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222259521484375 × 2 - 1) × π
    0.55548095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74509489376852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40669666} λ = -0.40669666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74509489376852))-π/2
    2×atan(5.7264448535717)-π/2
    2×1.39791122446465-π/2
    2.79582244892929-1.57079632675     		φ = 1.22502612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40669666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.302002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22502612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.188826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28526 KachelY 14566 -0.40669666 1.22502612 -23.302002 70.188826
    Oben rechts KachelX + 1 28527 KachelY 14566 -0.40660078 1.22502612 -23.296509 70.188826
    Unten links KachelX 28526 KachelY + 1 14567 -0.40669666 1.22499363 -23.302002 70.186965
    Unten rechts KachelX + 1 28527 KachelY + 1 14567 -0.40660078 1.22499363 -23.296509 70.186965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22502612-1.22499363) × R
    3.24900000001627e-05 × 6371000     		dl = 206.993790001036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22502612-1.22499363) × R
    3.24900000001627e-05 × 6371000     		dr = 206.993790001036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40669666--0.40660078) × cos(1.22502612) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.338921399571977 × 6371000     		do = 207.030638532198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40669666--0.40660078) × cos(1.22499363) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.338951966462436 × 6371000     		du = 207.049310362474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22502612)-sin(1.22499363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338921399571977-0.338951966462436)×R²
    abs(-0.40660078--0.40669666)×3.05668904590495e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.05668904590495e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.05668904590495e-05×40589641000000     		ar = 42855.9889964123m²