Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28525 / 4468
↖ ↑ ↗
← N 78.376004°
E133.385010°		 ← 246.15 m → N 78.376004°
E133.395996°		 →
↑
246.11 m
↓
↑
246.11 m
↓
N 78.373790°
E133.385010°		 ← 246.19 m →
60 585 m²		 N 78.373790°
E133.395996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870529174804688 y=0.136367797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870529174804688 × 215)
    floor (0.870529174804688 × 32768)
    floor (28525.5)     		tx = 28525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136367797851562 × 215)
    floor (0.136367797851562 × 32768)
    floor (4468.5)     		ty = 4468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28525 / 4468 ti = "15/28525/4468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28525/4468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28525 ÷ 215
    28525 ÷ 32768     		x = 0.870513916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4468 ÷ 215
    4468 ÷ 32768     		y = 0.1363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870513916015625 × 2 - 1) × π
    0.74102783203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32800759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1363525390625 × 2 - 1) × π
    0.727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28486438349036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32800759} λ = 2.32800759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28486438349036))-π/2
    2×atan(9.82435378909894)-π/2
    2×1.46935782579533-π/2
    2.93871565159066-1.57079632675     		φ = 1.36791932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32800759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.385010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36791932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.376004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28525 KachelY 4468 2.32800759 1.36791932 133.385010 78.376004
    Oben rechts KachelX + 1 28526 KachelY 4468 2.32819934 1.36791932 133.395996 78.376004
    Unten links KachelX 28525 KachelY + 1 4469 2.32800759 1.36788069 133.385010 78.373790
    Unten rechts KachelX + 1 28526 KachelY + 1 4469 2.32819934 1.36788069 133.395996 78.373790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36791932-1.36788069) × R
    3.86299999999284e-05 × 6371000     		dl = 246.111729999544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36791932-1.36788069) × R
    3.86299999999284e-05 × 6371000     		dr = 246.111729999544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32800759-2.32819934) × cos(1.36791932) × R
    0.000191749999999935 × 0.201488162900009 × 6371000     		do = 246.145848208962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32800759-2.32819934) × cos(1.36788069) × R
    0.000191749999999935 × 0.201526000485042 × 6371000     		du = 246.192072087963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36791932)-sin(1.36788069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201488162900009-0.201526000485042)×R²
    abs(2.32819934-2.32800759)×3.7837585032785e-05×R²
    0.000191749999999935×3.7837585032785e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.7837585032785e-05×40589641000000     		ar = 60585.0686618228m²