Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28523 / 14919
↖ ↑ ↗
← N 69.521069°
W 23.318482°		 ← 213.71 m → N 69.521069°
W 23.312988°		 →
↑
213.68 m
↓
↑
213.68 m
↓
N 69.519147°
W 23.318482°		 ← 213.73 m →
45 669 m²		 N 69.519147°
W 23.312988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435234069824219 y=0.227653503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435234069824219 × 216)
    floor (0.435234069824219 × 65536)
    floor (28523.5)     		tx = 28523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227653503417969 × 216)
    floor (0.227653503417969 × 65536)
    floor (14919.5)     		ty = 14919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28523 / 14919 ti = "16/28523/14919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28523/14919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28523 ÷ 216
    28523 ÷ 65536     		x = 0.435226440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14919 ÷ 216
    14919 ÷ 65536     		y = 0.227645874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435226440429688 × 2 - 1) × π
    -0.129547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40698428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227645874023438 × 2 - 1) × π
    0.544708251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71125144263676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40698428} λ = -0.40698428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71125144263676))-π/2
    2×atan(5.53588498703799)-π/2
    2×1.39208393910166-π/2
    2.78416787820332-1.57079632675     		φ = 1.21337155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40698428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.318482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21337155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.521069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28523 KachelY 14919 -0.40698428 1.21337155 -23.318482 69.521069
    Oben rechts KachelX + 1 28524 KachelY 14919 -0.40688840 1.21337155 -23.312988 69.521069
    Unten links KachelX 28523 KachelY + 1 14920 -0.40698428 1.21333801 -23.318482 69.519147
    Unten rechts KachelX + 1 28524 KachelY + 1 14920 -0.40688840 1.21333801 -23.312988 69.519147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21337155-1.21333801) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dl = 213.683339999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21337155-1.21333801) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dr = 213.683339999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40698428--0.40688840) × cos(1.21337155) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.349862924620089 × 6371000     		do = 213.714285301294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40698428--0.40688840) × cos(1.21333801) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.349894344725622 × 6371000     		du = 213.73347831926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21337155)-sin(1.21333801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349862924620089-0.349894344725622)×R²
    abs(-0.40688840--0.40698428)×3.14201055326424e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.14201055326424e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.14201055326424e-05×40589641000000     		ar = 45669.2329075149m²