Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28522 / 14562
↖ ↑ ↗
← N 70.196272°
W 23.323975°		 ← 206.93 m → N 70.196272°
W 23.318482°		 →
↑
206.93 m
↓
↑
206.93 m
↓
N 70.194411°
W 23.323975°		 ← 206.95 m →
42 823 m²		 N 70.194411°
W 23.318482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435218811035156 y=0.222206115722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435218811035156 × 216)
    floor (0.435218811035156 × 65536)
    floor (28522.5)     		tx = 28522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222206115722656 × 216)
    floor (0.222206115722656 × 65536)
    floor (14562.5)     		ty = 14562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28522 / 14562 ti = "16/28522/14562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28522/14562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28522 ÷ 216
    28522 ÷ 65536     		x = 0.435211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14562 ÷ 216
    14562 ÷ 65536     		y = 0.222198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435211181640625 × 2 - 1) × π
    -0.12957763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40708015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222198486328125 × 2 - 1) × π
    0.55560302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74547838896548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40708015} λ = -0.40708015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74547838896548))-π/2
    2×atan(5.72864133881255)-π/2
    2×1.39797620010628-π/2
    2.79595240021255-1.57079632675     		φ = 1.22515607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40708015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.323975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22515607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.196272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28522 KachelY 14562 -0.40708015 1.22515607 -23.323975 70.196272
    Oben rechts KachelX + 1 28523 KachelY 14562 -0.40698428 1.22515607 -23.318482 70.196272
    Unten links KachelX 28522 KachelY + 1 14563 -0.40708015 1.22512359 -23.323975 70.194411
    Unten rechts KachelX + 1 28523 KachelY + 1 14563 -0.40698428 1.22512359 -23.318482 70.194411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22515607-1.22512359) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dl = 206.930080000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22515607-1.22512359) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dr = 206.930080000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40708015--0.40698428) × cos(1.22515607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338799137841397 × 6371000     		do = 206.934369880065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40708015--0.40698428) × cos(1.22512359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338829696754137 × 6371000     		du = 206.953034890231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22515607)-sin(1.22512359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338799137841397-0.338829696754137)×R²
    abs(-0.40698428--0.40708015)×3.05589127398975e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05589127398975e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05589127398975e-05×40589641000000     		ar = 42822.8768937233m²