Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28521 / 14561
↖ ↑ ↗
← N 70.198133°
W 23.329468°		 ← 206.94 m → N 70.198133°
W 23.323975°		 →
↑
206.93 m
↓
↑
206.93 m
↓
N 70.196272°
W 23.329468°		 ← 206.96 m →
42 823 m²		 N 70.196272°
W 23.323975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435203552246094 y=0.222190856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435203552246094 × 216)
    floor (0.435203552246094 × 65536)
    floor (28521.5)     		tx = 28521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222190856933594 × 216)
    floor (0.222190856933594 × 65536)
    floor (14561.5)     		ty = 14561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28521 / 14561 ti = "16/28521/14561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28521/14561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28521 ÷ 216
    28521 ÷ 65536     		x = 0.435195922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14561 ÷ 216
    14561 ÷ 65536     		y = 0.222183227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435195922851562 × 2 - 1) × π
    -0.129608154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40717603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222183227539062 × 2 - 1) × π
    0.555633544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74557426276472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40717603} λ = -0.40717603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74557426276472))-π/2
    2×atan(5.72919059175125)-π/2
    2×1.39799244035391-π/2
    2.79598488070781-1.57079632675     		φ = 1.22518855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40717603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.329468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22518855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.198133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28521 KachelY 14561 -0.40717603 1.22518855 -23.329468 70.198133
    Oben rechts KachelX + 1 28522 KachelY 14561 -0.40708015 1.22518855 -23.323975 70.198133
    Unten links KachelX 28521 KachelY + 1 14562 -0.40717603 1.22515607 -23.329468 70.196272
    Unten rechts KachelX + 1 28522 KachelY + 1 14562 -0.40708015 1.22515607 -23.323975 70.196272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22518855-1.22515607) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dl = 206.930080000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22518855-1.22515607) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dr = 206.930080000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40717603--0.40708015) × cos(1.22518855) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.338768578571241 × 6371000     		do = 206.937287597843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40717603--0.40708015) × cos(1.22515607) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.338799137841397 × 6371000     		du = 206.955954773245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22518855)-sin(1.22515607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338768578571241-0.338799137841397)×R²
    abs(-0.40708015--0.40717603)×3.05592701561608e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.05592701561608e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.05592701561608e-05×40589641000000     		ar = 42823.4808814524m²