Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28520 / 4472
↖ ↑ ↗
← N 78.367146°
E133.330078°		 ← 246.32 m → N 78.367146°
E133.341064°		 →
↑
246.37 m
↓
↑
246.37 m
↓
N 78.364931°
E133.330078°		 ← 246.36 m →
60 690 m²		 N 78.364931°
E133.341064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870376586914062 y=0.136489868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870376586914062 × 215)
    floor (0.870376586914062 × 32768)
    floor (28520.5)     		tx = 28520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136489868164062 × 215)
    floor (0.136489868164062 × 32768)
    floor (4472.5)     		ty = 4472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28520 / 4472 ti = "15/28520/4472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28520/4472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28520 ÷ 215
    28520 ÷ 32768     		x = 0.870361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4472 ÷ 215
    4472 ÷ 32768     		y = 0.136474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870361328125 × 2 - 1) × π
    0.74072265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32704886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136474609375 × 2 - 1) × π
    0.72705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28409739309644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32704886} λ = 2.32704886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28409739309644))-π/2
    2×atan(9.81682149308482)-π/2
    2×1.46928052702262-π/2
    2.93856105404523-1.57079632675     		φ = 1.36776473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32704886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36776473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.367146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28520 KachelY 4472 2.32704886 1.36776473 133.330078 78.367146
    Oben rechts KachelX + 1 28521 KachelY 4472 2.32724060 1.36776473 133.341064 78.367146
    Unten links KachelX 28520 KachelY + 1 4473 2.32704886 1.36772606 133.330078 78.364931
    Unten rechts KachelX + 1 28521 KachelY + 1 4473 2.32724060 1.36772606 133.341064 78.364931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36776473-1.36772606) × R
    3.86699999999074e-05 × 6371000     		dl = 246.36656999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36776473-1.36772606) × R
    3.86699999999074e-05 × 6371000     		dr = 246.36656999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32704886-2.32724060) × cos(1.36776473) × R
    0.000191739999999996 × 0.201639579997705 × 6371000     		do = 246.317978821065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32704886-2.32724060) × cos(1.36772606) × R
    0.000191739999999996 × 0.201677455557003 × 6371000     		du = 246.364246677867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36776473)-sin(1.36772606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201639579997705-0.201677455557003)×R²
    abs(2.32724060-2.32704886)×3.78755592981561e-05×R²
    0.000191739999999996×3.78755592981561e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.78755592981561e-05×40589641000000     		ar = 60690.2150053479m²