Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28520 / 4469
↖ ↑ ↗
← N 78.373790°
E133.330078°		 ← 246.18 m → N 78.373790°
E133.341064°		 →
↑
246.24 m
↓
↑
246.24 m
↓
N 78.371576°
E133.330078°		 ← 246.23 m →
60 625 m²		 N 78.371576°
E133.341064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870376586914062 y=0.136398315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870376586914062 × 215)
    floor (0.870376586914062 × 32768)
    floor (28520.5)     		tx = 28520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136398315429688 × 215)
    floor (0.136398315429688 × 32768)
    floor (4469.5)     		ty = 4469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28520 / 4469 ti = "15/28520/4469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28520/4469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28520 ÷ 215
    28520 ÷ 32768     		x = 0.870361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4469 ÷ 215
    4469 ÷ 32768     		y = 0.136383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870361328125 × 2 - 1) × π
    0.74072265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32704886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136383056640625 × 2 - 1) × π
    0.72723388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28467263589188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32704886} λ = 2.32704886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28467263589188))-π/2
    2×atan(9.82247017344842)-π/2
    2×1.46933850654594-π/2
    2.93867701309188-1.57079632675     		φ = 1.36788069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32704886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36788069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.373790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28520 KachelY 4469 2.32704886 1.36788069 133.330078 78.373790
    Oben rechts KachelX + 1 28521 KachelY 4469 2.32724060 1.36788069 133.341064 78.373790
    Unten links KachelX 28520 KachelY + 1 4470 2.32704886 1.36784204 133.330078 78.371576
    Unten rechts KachelX + 1 28521 KachelY + 1 4470 2.32724060 1.36784204 133.341064 78.371576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36788069-1.36784204) × R
    3.86500000000289e-05 × 6371000     		dl = 246.239150000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36788069-1.36784204) × R
    3.86500000000289e-05 × 6371000     		dr = 246.239150000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32704886-2.32724060) × cos(1.36788069) × R
    0.000191739999999996 × 0.201526000485042 × 6371000     		do = 246.17923286655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32704886-2.32724060) × cos(1.36784204) × R
    0.000191739999999996 × 0.20156385735885 × 6371000     		du = 246.225477897615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36788069)-sin(1.36784204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201526000485042-0.20156385735885)×R²
    abs(2.32724060-2.32704886)×3.78568738078622e-05×R²
    0.000191739999999996×3.78568738078622e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.78568738078622e-05×40589641000000     		ar = 60624.6587250872m²