Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28520 / 21973
↖ ↑ ↗
← N 50.885709°
W 23.334961°		 ← 385.33 m → N 50.885709°
W 23.329468°		 →
↑
385.38 m
↓
↑
385.38 m
↓
N 50.882243°
W 23.334961°		 ← 385.36 m →
148 504 m²		 N 50.882243°
W 23.329468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435188293457031 y=0.335289001464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435188293457031 × 216)
    floor (0.435188293457031 × 65536)
    floor (28520.5)     		tx = 28520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335289001464844 × 216)
    floor (0.335289001464844 × 65536)
    floor (21973.5)     		ty = 21973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28520 / 21973 ti = "16/28520/21973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28520/21973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28520 ÷ 216
    28520 ÷ 65536     		x = 0.4351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21973 ÷ 216
    21973 ÷ 65536     		y = 0.335281372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4351806640625 × 2 - 1) × π
    -0.129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40727190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335281372070312 × 2 - 1) × π
    0.329437255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03495766279701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40727190} λ = -0.40727190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03495766279701))-π/2
    2×atan(2.81498705442285)-π/2
    2×1.22945974297878-π/2
    2.45891948595756-1.57079632675     		φ = 0.88812316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40727190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88812316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.885709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28520 KachelY 21973 -0.40727190 0.88812316 -23.334961 50.885709
    Oben rechts KachelX + 1 28521 KachelY 21973 -0.40717603 0.88812316 -23.329468 50.885709
    Unten links KachelX 28520 KachelY + 1 21974 -0.40727190 0.88806267 -23.334961 50.882243
    Unten rechts KachelX + 1 28521 KachelY + 1 21974 -0.40717603 0.88806267 -23.329468 50.882243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88812316-0.88806267) × R
    6.04899999999686e-05 × 6371000     		dl = 385.3817899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88812316-0.88806267) × R
    6.04899999999686e-05 × 6371000     		dr = 385.3817899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40727190--0.40717603) × cos(0.88812316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630869356495553 × 6371000     		do = 385.327287415246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40727190--0.40717603) × cos(0.88806267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630916288871418 × 6371000     		du = 385.355953136441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88812316)-sin(0.88806267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630869356495553-0.630916288871418)×R²
    abs(-0.40717603--0.40727190)×4.69323758648388e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69323758648388e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69323758648388e-05×40589641000000     		ar = 148503.643428641m²