Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2852 / 5923
↖ ↑ ↗
← S 62.329209°
W 54.667969°		 ← 2 269.24 m → S 62.329209°
W 54.624023°		 →
↑
2 268.46 m
↓
↑
2 268.46 m
↓
S 62.349609°
W 54.667969°		 ← 2 267.70 m →
5 145 932 m²		 S 62.349609°
W 54.624023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34820556640625 y=0.72308349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34820556640625 × 213)
    floor (0.34820556640625 × 8192)
    floor (2852.5)     		tx = 2852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72308349609375 × 213)
    floor (0.72308349609375 × 8192)
    floor (5923.5)     		ty = 5923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2852 / 5923 ti = "13/2852/5923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2852/5923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2852 ÷ 213
    2852 ÷ 8192     		x = 0.34814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5923 ÷ 213
    5923 ÷ 8192     		y = 0.7230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34814453125 × 2 - 1) × π
    -0.3037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95413605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7230224609375 × 2 - 1) × π
    -0.446044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40129144969348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95413605} λ = -0.95413605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40129144969348))-π/2
    2×atan(0.246278701922039)-π/2
    2×0.24147320990866-π/2
    0.48294641981732-1.57079632675     		φ = -1.08784991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95413605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.667969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08784991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.329209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2852 KachelY 5923 -0.95413605 -1.08784991 -54.667969 -62.329209
    Oben rechts KachelX + 1 2853 KachelY 5923 -0.95336906 -1.08784991 -54.624023 -62.329209
    Unten links KachelX 2852 KachelY + 1 5924 -0.95413605 -1.08820597 -54.667969 -62.349609
    Unten rechts KachelX + 1 2853 KachelY + 1 5924 -0.95336906 -1.08820597 -54.624023 -62.349609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08784991--1.08820597) × R
    0.00035605999999988 × 6371000     		dl = 2268.45825999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08784991--1.08820597) × R
    0.00035605999999988 × 6371000     		dr = 2268.45825999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95413605--0.95336906) × cos(-1.08784991) × R
    0.000766990000000023 × 0.464390624060615 × 6371000     		do = 2269.24166841118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95413605--0.95336906) × cos(-1.08820597) × R
    0.000766990000000023 × 0.464075257040907 × 6371000     		du = 2267.70062958549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08784991)-sin(-1.08820597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464390624060615-0.464075257040907)×R²
    abs(-0.95336906--0.95413605)×0.000315367019707746×R²
    0.000766990000000023×0.000315367019707746×6371000²
    0.000766990000000023×0.000315367019707746×40589641000000     		ar = 5145932.16988169m²